方向导数与梯度

上一章的链式法则告诉我们：如果沿着一条路径走进函数 $f(x,y)$ 的定义域，函数值会按路径的速度变化。本章把这个想法压缩到一个更局部的问题：站在点 $P$ ，如果只迈出很小一步，朝哪个方向函数值升得最快？

偏导数只回答两个固定方向：沿 $x$ 轴怎样变，沿 $y$ 轴怎样变。方向导数把方向改成任意单位向量；梯度则把所有方向的一阶变化集中到一个向量里。学会这两个概念后，等高线、温度场、地形坡度和后面要学的优化条件会连成一条线。

三维地形曲面上的点 P 沿不同方向移动，箭头标注较快升高、几乎不变和下降，底部有浅色等高线投影。

从同一点出发，不同方向的高度变化不同。方向导数测量“沿某个方向的瞬时变化率”。

从偏导数到任意方向

设 $z=f(x,y)$ ，点在定义域内。偏导数可以看成沿着水平向量走时的瞬时变化率；是沿着走时的瞬时变化率。

先把方向向量化为单位向量。因为 $\|\mathbf v\|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ ，所以方向向量对应的单位向量是 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 。

求偏导数。对 $x$ 求偏导得到 $f_x(x,y)=2xy$ ；对 $y$ 求偏导得到。

在点 $(1,0)$ 代入，得到 $f_x(1,0)=0$ ， $f_{y}$ 。因此梯度是。

用点积计算方向导数：

D_{\mathbf u}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot \mathbf u =(0,2)\cdot \left(\frac35,\frac45\right) =\frac85

先求梯度。因为 $f_x=2x+y$ ， $f_y=x+2y$ ，所以

\nabla f(1,2)=(2\cdot 1+2,1+2\cdot 2)=(4,5)

最快增长方向是梯度的单位方向：

\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\frac{(4,5)}{\sqrt{4^2+5^2}} =\left(\frac4{\sqrt{41}},\frac5{\sqrt{41}}\right)

最大方向导数是梯度长度：

\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{41}

最陡下降方向与梯度方向相反：

-\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\left(-\frac4{\sqrt{41}},-\frac5{\sqrt{41}}\right)

先求温度梯度：

T_x=0.4+0.02y,\qquad T_y=-0.3+0.02x

在点 $(5,10)$ 处，

\nabla T(5,10)=(0.6,-0.2)

西北方向可以表示为 $\mathbf v=(-1,1)$ ，对应单位方向

\mathbf u=\frac{(-1,1)}{\sqrt2}

计算方向导数：

D_{\mathbf u}T(5,10) =(0.6,-0.2)\cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt2} =\frac{-0.8}{\sqrt2} \approx -0.57

最快升温方向是梯度方向：

\frac{\nabla T(5,10)}{\|\nabla T(5,10)\|} =\frac{(0.6,-0.2)}{\sqrt{0.6^2+(-0.2)^2}} =\left(\frac3{\sqrt{10}},-\frac1{\sqrt{10}}\right)

先确认题目给的是二维、三维还是更高维函数，并写出研究点 $P$ 。如果题目给出的是方向向量，先判断它是否已经是单位向量。

求梯度 $\nabla f(P)$ 。对每个变量分别求偏导，再把研究点代入。不要先代点再求偏导，除非题目本来只给出了点附近的一阶近似。

若要求某个方向的方向导数，把方向向量归一化为 $\mathbf u$ ，再计算 $\nabla f(P)\cdot\mathbf u$ 。

若要求最快增长方向，直接取梯度方向；若要求最大变化率，取梯度长度。若梯度为零，要说明一阶信息不能给出唯一方向。

若题目涉及等值线或等值面，把“沿等值对象移动时函数值不变”翻译为点积为零，从而得到梯度与切向量垂直。