方向导数与梯度 | 多变量微积分 I | 自在学

方向导数与梯度

偏导数只看两个方向：求 $f_x$ 时，只许往东或往西走；求 $f_y$ 时，只许往北或往南走。可现实里的路不会这么听话。站在一面山坡上，你可以朝东北斜着走，也可以沿等高线绕行，还可以直接挑最陡的方向往上爬。

问题就在这里：偏导数给了“东—西”和“北—南”两条信息，可平面里有无穷多个方向。我们怎样知道任意方向上的坡度？又怎样从无穷多个方向中找出上升最快的那一个？

上一章的链式法则已经留下了线索。如果一条路径写成 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t))$ ，那么沿路径观察到的函数值是 $f(\mathbf r(t))$ 。本章会把路径改成穿过研究点的一条直线，并让人以单位速度沿它走。这样得到的就是方向导数；把所有方向导数组织起来的那个向量，就是梯度。

三维地形曲面上的点 P 沿不同方向移动，箭头标注较快升高、几乎不变和下降，底部有浅色等高线投影。

同一个点没有唯一的“坡度”。方向一变，函数值的瞬时变化率也会跟着变。

这一章真正要建立的不是两条孤立公式，而是一条完整的逻辑链：把方向变成单位向量，把多元函数限制到一条直线上，用链式法则算出变化率，再用点积读出最陡方向、等值线法向和切平面法向。

为什么方向必须先单位化

先不急着求导。假设从点 $P=(a,b)$ 出发，题目让我们“沿向量 $\mathbf v=(3,4)$ 的方向走”。向量 $(3,4)$ 同时携带了两件事：它朝右上方指，还带着长度 $5$ 。

方向导数想测的是“每走一个单位距离，函数值变化多少”。如果直接使用 $(3,4)$ ，参数增加 $1$ 时，人实际走了 $5$ 个长度单位；算出来的就不再是每单位距离的坡度，而是每单位参数的变化率。不同长度的向量会把同一条路算出不同的答案，这显然不适合比较方向。

所以我们先把长度拿掉，只留下朝向。对任意非零向量

\mathbf v=(v_1,v_2)

对应的单位方向向量是

\mathbf u =\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|} =\frac{(v_1,v_2)}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}

三维里完全一样：若 $\mathbf v=(v_1,v_2,v_3)$ ，就用 $u = v / ∥$ 。

平面坐标网格中从点 P 出发的同方向不同长度向量，展示原方向向量归一化为单位方向向量。

归一化不会改变箭头的朝向，只会把它的长度压成 $1$ 。

从一点指向另一点时怎么取方向

题目有时不会直接给向量，而是说“在点 $P$ 处，沿着指向点 $Q$ 的方向”。这时先做终点减起点：

\overrightarrow{PQ}=Q-P

再单位化：

\mathbf u=\frac{Q-P}{\|Q-P\|}

顺序不能反。 $Q-P$ 指向 $Q$ ，而 $P-Q$ 指向相反方向；方向一反，方向导数也会变号。

有些资料把 $\dfrac{d}{dt}f(P+t\mathbf v)\big|_{t=0}$ 也叫“沿的方向导数”，即使不是单位向量。那种定义测的是每单位参数的变化率。本教程统一把方向导数理解为每单位距离的变化率，所以公式中的必须是单位向量。

把多元函数压回一条直线

现在站在 $P=(a,b)$ ，选定单位方向

\mathbf u=(u_1,u_2),\qquad u_1^2+u_2^2=1

沿这个方向走距离 $s$ 后，平面位置变成

\mathbf r(s)=P+s\mathbf u =(a+s u_1,b+s u_2)

这一步很关键。原来 $x$ 和 $y$ 都能自由变化；一旦规定了直线和行走距离 $s$ ，它们就都变成了 $s$ 的函数。把路径代进 $f$ ：

g(s)=f(a+s u_1,b+s u_2)

此时 $g$ 已经是普通的一元函数。于是“从 $P$ 出发沿 $\mathbf u$ 的瞬时变化率”就是 $g'(0)$ 。

方向导数的极限定义

函数 $f$ 在点 $P$ 沿单位方向 $\mathbf u$ 的方向导数定义为

D_{\mathbf u}f(P) =\lim_{s\to 0} \frac{f(P+s\mathbf u)-f(P)}{s}

写成坐标形式就是

D_{\mathbf u}f(a,b) =\lim_{s\to 0} \frac{f(a+s u_1,b+s u_2)-f(a,b)}{s}

这还是熟悉的差商：分子是函数值变化，分母是实际移动距离。 $s$ 可以从正负两侧趋近于 $0$ ，所以它同时比较沿 $\mathbf u$ 和反方向靠近研究点时的局部变化。

若 $D_{\mathbf u}f(P)>0$ ，刚沿 $\mathbf u$ 出发时函数值上升；若它小于 $0$ ，函数值下降；若它等于 $0$ ，这个方向上的一阶变化消失。最后一种情况只说明“刚起步时是平的”，不保证沿这条路一直不变。

偏导数其实是两个特殊方向导数

若取

\mathbf e_1=(1,0),\qquad \mathbf e_2=(0,1)

定义立刻退回偏导数：

D_{\mathbf e_1}f(P)=f_x(P),\qquad D_{\mathbf e_2}f(P)=f_y(P)

朝西和朝南则分别得到

D_{-\mathbf e_1}f(P)=-f_x(P),\qquad D_{-\mathbf e_2}f(P)=-f_y(P)

所以方向导数不是把偏导数推翻重来，而是把偏导数从坐标轴方向推广到了任意方向。

例题：为什么对角线方向会出现 $\sqrt 2$

设

f(x,y)=xy

从点 $P=(1,1)$ 沿东北方的 $45^\circ$ 方向走，求方向导数。

东北方向可以先写成 $(1,1)$ ，但它的长度是 $\sqrt 2$ 。对应的单位向量为

\mathbf u=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)

沿直线走距离 $s$ 后，

x=1+\frac{s}{\sqrt2},\qquad y=1+\frac{s}{\sqrt2}

于是

g(s) =\left(1+\frac{s}{\sqrt2}\right)^2 =1+\sqrt2s+\frac{s^2}{2}

所以

D_{\mathbf u}f(1,1)=g'(0)=\sqrt2

如果错误地用横坐标增量 $\Delta x$ 当分母，就会漏掉从 $(1,1)$ 到东北方向一步的真实距离，结果也会少掉单位化带来的比例。

链式法则把定义变成可计算公式

每次都把直线代入再做极限当然可以，但没必要。上一章的链式法则正好能直接求

g(s)=f(a+s u_1,b+s u_2)

的导数。因为

\frac{dx}{ds}=u_1,\qquad \frac{dy}{ds}=u_2

所以

g'(s) =f_x(x(s),y(s))u_1+f_y(x(s),y(s))u_2

在 $s=0$ 处， $x(0)=a$ 、 $y(0)=b$ ，于是

D_{\mathbf u}f(a,b) =f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2

这个公式也可以从上一章的线性近似看出来。若沿 $\mathbf u$ 走一小段 $\Delta s$ ，那么

\Delta x=u_1\Delta s,\qquad \Delta y=u_2\Delta s

而可微函数的一阶变化满足

\Delta f =f_x(P)\Delta x+f_y(P)\Delta y+o(\Delta s)

代入后得到

\Delta f =\bigl(f_x(P)u_1+f_y(P)u_2\bigr)\Delta s +o(\Delta s)

除以 $\Delta s$ 再取极限，就得到同一个方向导数公式。这里真正起作用的是“函数在这一点可微”，因为可微保证曲面在足够小的尺度上确实能由切平面统一近似。

例题：先归一化，再把链式法则落到数值

设

f(x,y)=x^2y+e^y

求 $f$ 在点 $(1,0)$ 沿 $\mathbf v=(3,4)$ 所指方向的方向导数。

先处理方向。因为 $\|\mathbf v\|=5$ ，所以每单位距离对应的方向向量是 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 。

公式 $D_{\mathbf u}f=f_xu_1+f_yu_2$ 不能只靠“两个偏导数存在”就放心使用。对多项式、指数函数、三角函数等光滑组合，在定义域内部通常没有问题；遇到分段函数、绝对值、尖点或分母趋于零时，要先检查可微性，必要时回到极限定义。

梯度：把两个偏导数拼成一支有方向的箭头

方向导数公式里， $u_1,u_2$ 来自我们选择的方向； $f_x,f_y$ 则完全由函数和研究点决定。把后面这一组固定信息收在一起：

\nabla f(P)=\bigl(f_x(P),f_y(P)\bigr)

这个向量叫作 $f$ 在 $P$ 处的梯度。于是方向导数可以写成点积：

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u

三变量函数的梯度是

\nabla f(x,y,z)=\bigl(f_x,f_y,f_z\bigr)

一般的 $n$ 变量函数也照这个规律，把全部一阶偏导数组成一个 $n$ 维向量。

这个记号的价值不只是“少写几个字”。点积告诉我们，方向导数就是梯度在所选单位方向上的有向投影。

方向导数公式示意图：梯度向量 ∇f 投影到单位方向向量 u 上，夹角为 θ。

梯度本身不随你选择的方向改变；你转动 $\mathbf u$ ，读到的是梯度在新方向上的不同投影。

若 $\theta$ 是 $\nabla f(P)$ 与 $\mathbf u$ 的夹角，那么

D_{\mathbf u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta

这一个式子把符号、大小和方向全说清楚了：

当 $0\leq\theta<90^\circ$ 时，方向导数为正，沿 $\mathbf u$ 走会上升。
当 $\theta=90^\circ$ 时，方向导数为零，这个方向在一阶近似下是平的。
当时，方向导数为负，沿走会下降。

在交互图里把 $\mathbf u$ 转一整圈。梯度没有动，变化的是投影：同向时投影最长且为正，垂直时缩到 $0$ ，反向时绝对值再次达到最大，但符号变成负。

梯度与移动速度不要混在一起

若位置按路径 $\mathbf r(t)$ 运动，速度向量是 $\mathbf v=\mathbf r'(t)$ 。链式法则给出

\frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) =\nabla f(\mathbf r(t))\cdot\mathbf v(t)

设速率为 $\|\mathbf v\|$ ，单位切向量为

\mathbf T=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}

那么

\frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) =\|\mathbf v(t)\|D_{\mathbf T}f

方向导数 $D_{\mathbf T}f$ 是每单位路程的变化率； $df/dt$ 是每单位时间的变化率。方向相同但速度翻倍，前者不变，后者会翻倍。

最陡上升和最陡下降

现在终于可以回答开头的问题：从一点出发，任意挑一个单位方向，哪里最陡？

由柯西不等式，

D_{\mathbf u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf u \leq\|\nabla f(P)\|\|\mathbf u\| =\|\nabla f(P)\|

等号在 $\mathbf u$ 与梯度同向时成立。因此，当 $\nabla f(P)\neq\mathbf 0$ ：

\mathbf u_{\max} =\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}, \qquad \max D_{\mathbf u}f(P)=\|\nabla f(P)\|

反方向给出最小值：

\mathbf u_{\min} =-\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}, \qquad \min D_{\mathbf u}f(P)=-\|\nabla f(P)\|

说得直白一点，梯度的方向回答“往哪儿最陡”，梯度的长度回答“最陡能有多陡”。负梯度则是最快下降方向。

例题：方向和变化率是两个不同答案

设

f(x,y)=x^2+xy+y^2

求 $f$ 在 $(1,2)$ 处最快增长的单位方向、最大方向导数，以及最快下降的单位方向。

先求梯度：

\nabla f=(2x+y,x+2y)

所以

\nabla f (1, 2) = (4, 5)

梯度为零时，最陡方向去哪儿了

如果

\nabla f(P)=\mathbf 0

那么对每个单位方向 $\mathbf u$ ，都有

D_{\mathbf u}f(P)=0

此时所有方向的一阶信息都打成平手，没有唯一的最陡方向。但这不代表函数附近一定是平面。 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在原点是谷底， $f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点却是鞍点；两者的梯度都为零。下一章的优化问题会从这里接手：梯度负责筛出候选点，二阶信息和边界分析再判断这些点究竟是什么。

等值线为什么总和梯度垂直

等值线由方程

f(x,y)=c

给出。沿同一条等值线走，无论位置怎样变，函数值始终是常数 $c$ 。把等值线局部参数化为

\mathbf r(t)=(x(t),y(t))

就有

f(\mathbf r(t))=c

两边对 $t$ 求导，链式法则给出

\nabla f(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=0

$\mathbf r'(t)$ 是等值线的切向量。它与梯度点积为零，所以只要梯度不为零，梯度就是等值线的法向量。

这件事也可以从方向导数直接读出来：沿等值线走，函数值不变，方向导数为 $0$ ；能让梯度投影为 $0$ 的方向，正是与梯度垂直的方向。

二维椭圆等值线图，点 P 处的切向方向沿等值线，梯度 ∇f 箭头与等值线垂直。

等值线记录“数值不变的方向”，梯度记录“数值增加最快的方向”，两者自然垂直。

例题：不用先求切线斜率也能找法向

考虑

f(x,y)=x^2+4y^2

过点 $(2,1)$ 的等值线满足

x^2+4y^2=8

梯度为

\nabla f(x,y)=(2x,8y)

所以在 $(2,1)$ 处，

\nabla f(2,1)=(4,8)

这已经是等值线的法向量。若要写切线方程，可直接使用“法向量点乘位移为零”：

(4,8)\cdot(x-2,y-1)=0

化简得到

x+2y=4

若还想给出一个切向量，可以取与 $(4,8)$ 垂直的 $(2,-1)$ ，因为

(4,8)\cdot(2,-1)=0

等值线的疏密还告诉你梯度大小

相邻两条等值线若相差同样的函数值 $\Delta f$ ，沿法向穿过它们的距离记作 $\Delta s$ ，那么局部坡度大约是

\frac{\Delta f}{\Delta s}

等值线挤得越密， $\Delta s$ 越小，梯度通常越大；等值线越疏，梯度通常越小。这就是地形图上“线密的地方坡陡、线疏的地方坡缓”的微积分解释。

“梯度垂直于等值线”要带着条件使用：研究点处 $\nabla f\neq\mathbf 0$ 。梯度为零时，等值线可能缩成一点、发生交叉或出现尖锐结构，此时不能靠零向量指定唯一法向。

从等值线法向走到切平面法向

二维里， $f(x,y)=c$ 是等值线；三维里，

F(x,y,z)=c

是一张等值面。取等值面上的任意曲线 $\mathbf r(t)$ ，仍有

F(\mathbf r(t))=c

求导得到

\nabla F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=0

等值面上穿过一点的每条曲线，其切向量都落在同一个切平面里。梯度与这些切向量全部垂直，因此 $\nabla F(P)$ 是等值面的法向量。

若 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 且 $\nabla F (P) \neq 0$ ，切平面可以直接写成

\nabla F(P)\cdot \bigl(x-x_0,y-y_0,z-z_0\bigr)=0

也就是

F_x(P)(x-x_0) +F_y(P)(y-y_0) +F_z(P)(z-z_0)=0

显式曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量

把图像曲面

z=f(x,y)

移到一边，写成等值面的形式：

G(x,y,z)=f(x,y)-z=0

那么

\nabla G=(f_x,f_y,-1)

所以曲面在点 $(a,b,f(a,b))$ 处的一个法向量是

\mathbf N=\bigl(f_x(a,b),f_y(a,b),-1\bigr)

相应的切平面为

z-f(a,b) =f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)

这里最容易混淆的是两个“梯度”： $\nabla f=(f_x,f_y)$ 活在底面的 $xy$ 平面里，告诉你水平朝哪个方向走时高度增加最快； $\nabla G = (f_{x}, f_{}$ 活在三维空间里，是曲面和切平面的法向量。它们相关，但不是同一个向量。

例题：球面的切平面

球面

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=14

经过点 $P=(1,2,3)$ 。先求三维梯度：

\nabla F=(2x,2y,2z)

在 $P$ 处，

\nabla F(P)=(2,4,6)

它与半径方向 $(1,2,3)$ 平行，这与球面的几何直觉一致。切平面方程为

2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0

约去公因子 $2$ ，得到

x+2y+3z=14

整个过程不需要先把球面解成 $z=f(x,y)$ ，也避开了平方根求导。

应用：温度、地形和路径上的读数

梯度并不只属于“山坡”。只要一个标量量随位置变化，就能问它的方向导数。

温度场中的最快升温方向

把 $T(x,y)$ 看成房间地面每一点的温度。 $\nabla T(P)$ 指向升温最快的方向， $\|\nabla T(P)\|$ 是每米所能达到的最大升温率；沿等温线走时，方向导数为 $0$ 。

二维房间温度场热力图，等温线与点 P 处温度梯度箭头指示升温最快方向。

温度梯度垂直穿过等温线，并指向数值较高的一侧。

设

T(x,y)=22+0.4x-0.3y+0.02xy

其中 $x,y$ 以米为单位， $T$ 以摄氏度为单位。求在 $(5,10)$ 处沿西北方向移动时的瞬时温度变化率，并求最快升温方向。

先求梯度：

T_x=0.4+0.02y,\qquad T_y=-0.3+0.02x

沿一条实际路径移动

若无人机位置为 $\mathbf r(t)$ ，空气污染浓度为 $C(x,y,z)$ ，那么仪器每秒读数的变化率是

\frac{dC}{dt}=\nabla C(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)

这时负梯度告诉你“每米下降最快”的方向，但无人机的实际读数还受速度影响。想让浓度每秒降得更快，可以改变飞行方向，也可以在同一方向上提高速度。方向导数只负责前者。

几个最容易混淆的地方

左右对比图：点 A 在高而平缓的平台上，函数值高但梯度小；点 B 在低处陡坡上，函数值低但梯度大。

函数值回答“现在多高”，梯度回答“附近变化多快”。这是两个不同问题。

函数值大，不等于梯度大

$f(P)$ 是当前位置的数值， $\|\nabla f(P)\|$ 是当前位置附近最大的瞬时变化率。高原顶部可以海拔很高却几乎水平；低谷边缘可以数值很低却十分陡峭。

梯度方向不是梯度向量本身

若题目问“最快上升方向”，通常应给单位向量

\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}

若题目问“最大方向导数”，答案才是数值 $\|\nabla f\|$ 。直接写 $\nabla f$ 虽然给出了朝向，却把方向和变化率揉在了一起。

方向导数为零，不代表一路恒定

对 $f(x,y)=x^2+y^2$ ，原点沿任何方向的方向导数都为零，可一离开原点，函数值就会上升。方向导数只描述研究点处的一阶趋势，不能替代对整条路径的分析。

所有方向导数存在，也未必可微

考虑

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

沿单位方向 $\mathbf u=(u_1,u_2)$ 代入 $(x,y)=s\mathbf u$ ，可得

D_{\mathbf u}f(0,0)=u_1^3

每个方向导数都存在，但 $u_1^3$ 不是关于 $\mathbf u$ 的线性函数，不可能写成某个固定向量与 $\mathbf u$ 的点积。因此该函数在原点不可微，也不能把 $(f_x,f_y)$ 当作一个统一的一阶近似来预测任意方向。

平面梯度和曲面法向量不是同一支箭头

对 $z=f(x,y)$ ， $\nabla f=(f_x,f_y)$ 在平面里；曲面的法向量可取。前者说“在底面朝哪儿走最陡”，后者说“在三维空间中哪支箭头垂直于切平面”。维数都不同，不能直接画成同一支箭头。

做题时最常见的三个失误可以连着检查：方向有没有取反，方向向量有没有单位化，最后求的是“方向”还是“方向导数数值”。这三处任何一处含糊，后面的点积即使算对了也可能答非所问。

一套能反复使用的解题顺序

遇到方向导数、最陡方向、等值线法向或切平面题，可以沿同一条主线处理。

先写清研究点 $P$ 和方向来源。若方向来自 $P$ 指向 $Q$ ，先算 $Q-P$ ；若只给非零向量 $\mathbf v$ ，先确认朝向是否正确。

练习

练习 1：指定方向

设

f(x,y)=x^2y+3y^2

求 $f$ 在点 $(2,-1)$ 沿 $\mathbf v=(1,2)$ 所指方向的方向导数，并解释符号。

练习 2：三维最快增长

设

f(x,y,z)=xy+yz+zx

求 $f$ 在点 $(1,2,-1)$ 处最快增长的单位方向、最大方向导数和最快下降的单位方向。

练习 3：从一点指向另一点

设

f(x,y)=\ln(x^2+y^2)

求 $f$ 在点 $P=(1,1)$ 沿着指向原点 $Q=(0,0)$ 的方向导数。

练习 4：等值线的切线

函数

f(x,y)=e^{x-y}

过点 $(0,0)$ 的等值线是哪一条？求该点的一个单位切向量，并核验沿这个方向的方向导数为零。

练习 5：路径速度与方向导数

设

f(x,y)=x^2+y^2

粒子沿

\mathbf r(t)=(3t,4t)

运动。求 $t=1$ 时每秒的函数值变化率 $df/dt$ ，再求沿路径每单位路程的变化率 $df/ds$ 。

练习 6：等值面的切平面

曲面由

F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2=6

给出。求它在点 $(1,1,1)$ 处的法向量和切平面方程。

练习 7：零梯度意味着什么

比较

f(x,y)=x^2+y^2

与

g(x,y)=x^2-y^2

在原点的梯度和任意方向导数。仅靠这些一阶信息，能否判断原点是哪一类点？

收束：梯度是局部变化的总开关

把本章压缩成一句话：在可微点，函数的一阶变化由梯度完全控制。

\Delta f \approx\nabla f(P)\cdot\Delta\mathbf r

当 $\Delta\mathbf r=\mathbf u\,\Delta s$ 时，它变成方向导数：

D_{\mathbf u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta

同向给出最陡上升，反向给出最陡下降，垂直给出一阶不变；等值线和等值面的切向量恰好属于“垂直”这一类，所以梯度又成了它们的法向量。对显式曲面 $z=f(x,y)$ ，再把 $f(x,y)-z=0$ 看成等值面，就得到切平面的三维法向量。

下一章开始研究极值时，我们会先解

\nabla f=\mathbf 0

原因现在已经很清楚：如果一个可微函数在内部点取得局部最大或最小，那么从该点朝任何方向出发，一阶变化都不能偏向上升或下降，梯度只能先归零。只是“归零”还不够，接下来还要看曲面在不同方向上怎样弯。

v

∥

\mathbf u=\mathbf v/\|\mathbf v\|

90^{\circ} < θ \leq 180^{\circ}

90^\circ<\theta\leq180^\circ

\nabla f(1,2)=(4,5)

\nabla F(P)\neq\mathbf 0

y

,

-

1

)

\nabla G=(f_x,f_y,-1)