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曲面、二次曲面与坐标变换初识 | 多变量微积分 I | 自在学

从方程读懂空间曲面

上一章里，我们已经会用点、向量、直线和平面描述三维空间。平面之所以好认，是因为它的方程是一次的：法向量告诉我们平面朝哪边，方程右边的常数告诉我们它离原点多远。

现在把方程里的平方项、根号和三个变量一起放进来，事情就变了。方程可能画出一只球、一根无限长的柱面、一只碗，也可能画出中间收腰或上下分开的曲面。难点并不只是式子变长，而是我们没法再靠一张平面图直接看到答案。

这一章要建立的核心习惯是：看不清整张曲面，就先切开看。 我们会把三维问题切回熟悉的圆、椭圆、抛物线和双曲线，再把这些截痕拼回整体。等形状看懂以后，柱坐标和球坐标就不再像一套突然出现的新符号，而会变成顺着图形本身说话的方式。

曲面方程、切平面、截痕和等值面的关系示意图

三维曲面不必硬猜。让坐标平面移动着去切它，留下的二维曲线会暴露整体结构。

一元图像的直觉到了空间里为什么不够用

一元函数 $y=f(x)$ 只有一个自由输入。选定 $x$ ，高度 $y$ 就跟着确定，所以图像是一条曲线。二元函数

z=f(x,y)

有两个自由输入。选定平面上的一点 $(x,y)$ ，函数才给出高度 $z$ 。底面从一条数轴变成一整张平面，图像也就从曲线变成曲面。

例如

z=x^2+y^2

表示高度由点到 $z$ 轴的水平距离决定。离 $z$ 轴越远， $x^2+y^2$ 越大，曲面越高，所以它是一只向上打开的碗。

但三元方程未必能写成唯一的 $z=f(x,y)$ 。球面

x^2+y^2+z^2=9

若硬解出 $z$ ，会得到

z=\pm\sqrt{9-x^2-y^2}

同一个 $(x,y)$ 往往对应上、下两个点。也就是说，整张球面不是某个单独的二元函数图像；它由上半球和下半球两张函数图像拼成。这里正是旧直觉第一次卡住的地方：空间里的“曲面”比“函数 $z=f(x,y)$ 的图像”范围更广。

显式方程和隐式方程

写成 $z=f(x,y)$ 的曲面叫显式曲面。它很适合用“底面位置加高度”来理解。平面

z=2x-y+3

就是最简单的例子：沿 $x$ 方向每走 $1$ ，高度增加 $2$ ；沿 $y$ 方向每走 $1$ ，高度减少 $1$ 。

写成

F(x,y,z)=k

的曲面更像空间中的等值面：曲面上所有点都让 $F$ 取得同一个值 $k$ 。球面、椭球面、锥面通常用这种形式更自然。

等式通常描述一张“皮”，不等式才描述里面或外面的实心区域。 $x^2+y^2+z^2=9$ 是球面，才是包含内部的实心球。后面写三重积分边界时，这个区别不能含糊。

曲面和等值线是同一件事的两种观看方式

若 $z=f(x,y)$ ，固定一个高度 $z=c$ ，曲面与水平平面的交线满足

f(x,y)=c

把这条交线投到 $xy$ 平面，就得到函数的等值线。地形图里的等高线正是这种做法：一条线上所有位置高度相同。

等值线还能告诉我们曲面陡不陡。相邻等值线代表相同的高度差时，线挤得越密，说明很短的水平距离就跨过很大的高度差，地面越陡；线离得越开，地面越平缓。以后讲偏导数和梯度时，我们会把这种“哪里最陡、往哪边最陡”的直觉变成计算。

截痕：先把三维问题切回二维

截痕就是曲面与某个平面的交线。最常用的三组切法是

固定 $x=c$ ，在与 $yz$ 平面平行的平面里看截痕；
固定 $y=c$ ，在与 $xz$ 平面平行的平面里看截痕；
固定 $z=c$ ，看水平截痕。

这不是机械地“把变量换成常数”。每固定一个变量，我们就在问一个具体的几何问题：如果只看某个方向的侧影，曲面是什么形状？如果一层一层水平切开，每一层的轮廓怎样变化？

一个可靠的识图顺序

面对陌生方程，可以按下面的顺序处理。

先看有没有变量缺席。若有，曲面常常沿缺席变量的方向无限延伸。
再看对称性。变量只以平方出现时，把该变量换成相反数不会改变方程，曲面关于对应坐标平面对称。
取三个坐标平面的截痕，也就是依次令 $x=0$ 、 $y=0$ 、 $z=0$ 。
若某个坐标平面的截痕退化成一点、两条直线或根本不存在，就把切平面移动到 $x=c$ 、 $y=c$ 或再看。

一个截痕只是一张切片，真正有辨识力的是一整组切片的变化。例如水平截痕都是圆，既可能是圆柱面，也可能是球面、圆锥面或圆抛物面；圆的半径是否随高度变化、怎样变化，才会把它们区分开。

例题：用一组截痕认出向下开的碗

判断曲面

z=9-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}

的形状、顶点和开口方向。

先看水平截痕。令 $z=c$ ，得到

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=9-c

等值线和截痕不要混为一谈

对显式曲面 $z=f(x,y)$ 来说，水平截痕 $z=c$ 与等值线 $f(x,y)=c$ 一一对应。但竖直截痕 $x=c$ 或不是等值线，因为切面上的高度仍在变化。

说得直接一点：等值线固定的是函数值，一般截痕固定的是某个坐标。水平切显式曲面时，这两件事恰好重合；换一个方向切，就不再相同。

柱面不一定是圆管

在二维平面里，

x^2+y^2=4

是一条半径为 $2$ 的圆。到了三维空间，方程里没有 $z$ ，所以每个满足方程的 $(x,y)$ 都可以配上任意高度 $z$ 。把同一条圆沿 $z$ 方向不断复制，就得到一张圆柱面。

变量缺席时，平面曲线沿对应坐标方向延伸成柱面

数学里的柱面比日常说的圆柱更宽。只要一条平面曲线沿固定方向平移，扫过的曲面都叫柱面，那些互相平行的直线叫母线。例如

y=x^2

没有 $z$ ，所以平面中的抛物线沿 $z$ 方向延伸，得到抛物柱面；

x^2+z^2=25

没有 $y$ ，所以半径为 $5$ 的圆沿 $y$ 方向延伸，得到以 $y$ 轴为中心的圆柱面。

“少一个变量就沿那个方向延伸”是针对三维方程的快速判断。它告诉你延伸方向，却不自动告诉你底面的曲线是什么。先把剩余两个变量放回对应坐标平面，认出那条曲线，再沿缺席变量方向拉伸。

例题：从方程读出柱面的方向

描述

z=4-y^2

表示的曲面。

方程没有 $x$ ，所以 $x$ 可以任意变化。曲面的母线平行于 $x$ 轴。

在 $yz$ 平面中，方程是，这是一条顶点为、向负方向打开的抛物线。

二次曲面是圆锥曲线的空间版本

含三个变量的二次方程一般可以写成

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0

它的图形叫二次曲面。完整理论还要处理 $xy$ 、 $xz$ 、 $yz$ 这样的交叉项和坐标轴旋转；本课先掌握没有交叉项、坐标轴已经与曲面主方向对齐的标准形。这些标准形覆盖后续积分中最常见的边界。

识别二次曲面时，不要从名字开始背。我们真正要看的是四件事：

平方项有几个，符号相同还是相反；
有没有一个变量只出现一次方；
方程右边是 $1$ 还是 $0$ ；
哪个变量承担了与其他变量不同的符号或次数。

六类常见二次曲面的标准方程和形状

球面和椭球面：三个方向都被封住

椭球面的标准形是

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

三个平方项全为正，所以每个变量都受到限制： $|x|\le a$ 、 $|y|\le b$ 、 $|z|\le c$ 。曲面在三个方向上都是封闭的，三个半轴长度分别是 $a$ 、 $b$ 、。

椭球面的三个半轴和坐标平面主截面

当 $a=b=c=R$ 时，椭球面变成球面

x^2+y^2+z^2=R^2

若中心从原点移到 $(h,k,\ell)$ ，球面方程变成

(x-h)^2+(y-k)^2+(z-\ell)^2=R^2

例题：配方找球心和半径

判断

x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z=10

表示什么曲面。

把每个变量的一次项和二次项放在一起：

(x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)=10

椭圆抛物面：一个变量负责开口

标准形

z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}

中， $z$ 是唯一的一次变量，也是开口轴。右边永远非负，所以 $z\ge0$ ，曲面从原点沿正 $z$ 方向打开。固定 $z=c>0$ 得到椭圆；固定 $x=0$ 或得到抛物线。

如果方程前面多一个负号，

z=-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}

曲面就沿负 $z$ 方向打开。若一次变量换成 $x$ 或 $y$ ，开口轴也跟着换。

双曲抛物面：两个主方向意见相反

双曲抛物面的标准形是

z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}

沿 $y=0$ 切，得到向上开的抛物线；沿 $x=0$ 切，得到向下开的抛物线。曲面在一个方向上抬起，在垂直方向上压下，于是形成马鞍形。

水平切片也很有意思：当 $z>0$ 时，双曲线沿 $x$ 方向张开；当 $z<0$ 时，双曲线沿 $y$ 方向张开；当 $z=0$ 时，它退化为两条相交直线。

椭圆抛物面与双曲抛物面的水平截痕和竖直截痕

单叶双曲面：中间有腰但没有断开

标准形

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

有两个正平方项和一个负平方项。令 $z=k$ ，得到

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}

对每个 $k$ 都有椭圆，而且 $k=0$ 时椭圆最小。曲面因此在中间收腰，却始终连成一片。负号所在的 $z$ 方向是它的主轴。

双叶双曲面：中间确实没有点

标准形

\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

只有一个正平方项。整理水平截痕可得

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}-1

只有 $|z|\ge c$ 时右边才非负，所以 $-c<z<c$ 之间没有曲面。两片分别从 $(0,0,c)$ 和 $(0,0,-c)$ 开始，沿唯一正号项对应的方向分开。

椭圆锥面：右边从 1 变成 0

椭圆锥面的标准形是

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0

它与单叶双曲面的左边结构相同，但右边是 $0$ 。令 $z=0$ 时只剩原点；令 $z=k$ 时得到大小与 $|k|$ 成正比的椭圆。上、下两部分在原点相接，形成双锥。

单叶双曲面、双叶双曲面和椭圆锥面的连通性与水平截痕对比

双曲面的名称不能只靠“几个负号”死记。先把右边化成 $1$ ，再看有几个正平方项：两个正项对应单叶双曲面，一个正项对应双叶双曲面。锥面的右边是 $0$ ，会经过原点。

从一般方程走到标准形

实际题目通常不会把标准形直接递到你手里。稳妥做法是先整理，再命名：把常数移到右边，对含一次项的变量配方，最后把右边化成 $1$ 。只有化到标准形以后，符号判断才可靠。

例题：识别平移后的椭圆抛物面

判断

9x^2-18x+4y^2+16y-36z+25=0

表示的曲面，并找出顶点和开口方向。

先把 $z$ 留在右边，把 $x$ 、 $y$ 的项分组：

9(x^2-2x)+4(y^2+4y)+25=36z

例题：单叶还是双叶

识别

4x^2+z^2-4y^2=16

并判断主轴方向。

先除以 $16$ ，把右边化成 $1$ ：

\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1

坐标变换是让方程顺着图形说话

直角坐标用到三个互相垂直的距离，特别适合盒子、平面和与坐标轴对齐的边界。但圆柱、球、圆锥天生带有“离轴多远”“绕轴转了多少”“离原点多远”这些几何量。若坚持只用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，简单形状也会写得很绕。

换坐标不是换一个点。空间中的点没有动，我们只是换一组问题来描述它。

柱坐标：平面极坐标加一个高度

柱坐标写成 $(r,\theta,z)$ ：

$r$ 是点到 $z$ 轴的距离；
$\theta$ 是点在 $xy$ 平面投影的极角，从正 $x$ 轴朝正 $y$ 轴方向量；
$z$ 仍是高度。

柱坐标中半径、极角、高度与直角坐标的关系

从柱坐标到直角坐标：

x=r\cos\theta,qquad y=r\sin\theta,qquad z=z

从直角坐标反推时：

r=\sqrt{x^2+y^2},qquad \tan\theta=\frac{y}{x}

第二个式子只给出正切值，不能单独决定象限。实际判断 $\theta$ 时必须同时看 $x$ 、 $y$ 的符号。我们通常取

r\ge0,qquad 0\le\theta<2\pi

柱坐标中的三个“坐标恒定面”很直观： $r=c$ 是圆柱面， $\theta=c$ 是以 $z$ 轴为边界的竖直半平面， $z=c$ 是水平平面。

球坐标：距离加两个方向角

本课程把球坐标写成 $(\rho,\theta,\varphi)$ ：

$\rho$ 是点到原点的距离；
$\theta$ 仍是 $xy$ 平面里的极角；
$\varphi$ 从正 $z$ 轴向下量到位置向量。

球坐标中距离、水平极角、竖直角和投影半径的关系

从球坐标到直角坐标：

x=\rho\sin\varphi\cos\theta,qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,qquad z=\rho\cos\varphi

这里先把位置向量投影到 $xy$ 平面，投影长度是

r=\rho\sin\varphi

再用平面极坐标分解成 $x$ 、 $y$ 两个方向。竖直分量则是 $z=\rho\cos\varphi$ 。因此球坐标可以理解成两步：先从 $(\rho,\varphi)$ 得到 $(r,z)$ ，再从得到。

反向关系是

\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2},qquad \varphi=\arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)

加上由 $x$ 、 $y$ 象限确定的 $\theta$ 。常用范围是

\rho\ge0,qquad 0\le\theta<2\pi,qquad 0\le\varphi\le\pi

球坐标的坐标恒定面同样值得记住： $\rho=c$ 是以原点为中心的球面， $\theta=c$ 是竖直半平面， $\varphi=c$ 是以原点为顶点、绕 $z$ 轴的圆锥面。

不同资料可能交换两个角字母的含义。本课程始终约定： $\theta$ 在 $xy$ 平面内绕 $z$ 轴转， $\varphi$ 从正 $z$ 轴向下量。不要只看字母，要看角从哪里量起。

坐标表示并不总是唯一

当 $r=0$ 时，点落在 $z$ 轴上。不管 $\theta$ 取多少， $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 都是，所以此时不唯一。

当 $\rho=0$ 时，点就是原点， $\theta$ 和 $\varphi$ 都没有唯一值。即使 $\rho>0$ ，点在正、负 $z$ 轴上时， $\theta$ 仍可任选。后面设置积分边界时，我们通常用约定范围避免重复覆盖；坐标轴上的少量非唯一点不会改变体积积分的结果。

从边界形状选择坐标

判断该用哪套坐标，先看边界反复出现什么组合。

出现 $x^2+y^2$ ，或区域绕 $z$ 轴旋转，优先试柱坐标，因为 $x^2+y^2=r^2$ 。

抛物反射面、单叶双曲面结构和球面对称距离的几何应用

坐标选择没有“看到圆就必须换”的死规则。我们的目标是让多数边界变成常数或简单的一次关系，同时让变量范围容易读。

例题：实心圆柱改写成柱坐标

把区域

x^2+y^2\le9,qquad 0\le z\le5

改写成柱坐标。

$x^2+y^2\le9$ 表示 $xy$ 平面中半径为的圆盘。换成后，因为，得到。

例题：球内、锥上方的区域

用球坐标描述球

x^2+y^2+z^2\le16

内部且在圆锥

z=\sqrt{x^2+y^2}

上方的区域。

球面条件直接变成 $\rho^2\le16$ ，所以

0\le\rho\le4

例题：同一个点的三种坐标

把直角坐标点 $P(-3,-4,-3)$ 改写成柱坐标和球坐标，角度取 $0\le\theta<2\pi$ 。

柱坐标半径为

r=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5

常见误区要在图形层面纠正

把一张面看成一块实体

$x^2+y^2=4$ 是无限延伸的圆柱面，没有顶盖，也没有内部。若要表示半径不超过 $2$ 的实心无限圆柱，应写 $x^2+y^2\le4$ ；若还要限制高度，需要再加一个的范围。

看见圆形截痕就判断为球面

圆柱面、圆锥面、圆抛物面和球面都可能有圆形水平截痕。比较半径随高度 $z$ 的变化才有用：圆柱面保持不变，圆锥面与 $|z|$ 成正比，圆抛物面的半径与 $\sqrt z$ 成正比，球面的半径则先增大后减小。

忘记先把右边化成正的 1

方程

x^2-y^2-z^2=-1

若直接数正负号，很容易误判。两边乘以 $-1$ 后是

-x^2+y^2+z^2=1

此时有两个正平方项，所以它是以 $x$ 轴为主轴的单叶双曲面。

把柱坐标的 $r$ 当成球坐标的 $\rho$

$r$ 只计算到 $z$ 轴的水平距离， $\rho$ 计算到原点的空间距离。它们满足

r=\rho\sin\varphi,qquad \rho^2=r^2+z^2

只有在 $z=0$ 的 $xy$ 平面上，两者才相等。

用反正切却不检查象限

点 $(-1,-1)$ 与 $(1,1)$ 的 $y/x$ 都等于 $1$ ，但它们的极角相差 $\pi$ 。求 $\theta$ 时，先用正切找参考角，再根据、的符号把角放进正确象限。

坐标变换不能只替换方程，还要同步转换变量范围。把 $x^2+y^2$ 换成 $r^2$ 只是第一步；若区域只占半圆、位于某个圆锥内或只在上半球，还必须把这些几何限制翻译成 $θ$ 、或的范围。

练习

练习一：从显式图像到等值线

曲面

z=x^2+4y^2

在高度 $z=c$ 的截痕是什么？当 $c<0$ 、 $c=0$ 、 $c>0$ 时分别讨论。

练习二：缺席变量决定什么

描述

x^2+z^2=16

在三维空间中的图形，并写出母线方向。

练习三：配方识别球面

判断

x^2+y^2+z^2+2x-8y+4z=4