曲面、二次曲面与坐标变换初识 | 多变量微积分 I | 自在学曲面、二次曲面与坐标变换初识
单变量函数的图像通常是一条曲线。到了三维空间，方程能描述的对象变得更丰富：一个平面、一只球面、一根柱面、一只碗形抛物面，甚至一个马鞍形曲面，都可以由几个变量之间的关系写出来。
本章先不追求计算技巧，而是训练三件事：读懂曲面的方程，借助截痕判断三维形状，在合适的时候把直角坐标换成柱坐标或球坐标。后面学习二重积分、三重积分、曲面积分时，很多边界之所以容易或困难，往往就取决于这一步看图和选坐标的能力。
一条曲面方程可以从整体看，也可以用平面截开后从二维曲线看。
曲面方程的基本读法
在三维空间中，一个方程通常不是只确定一个点，而是确定一整片点集。例如
x2+y2+z2=9
表示所有到原点距离为 的点，因此它是一张球面。方程
3
表示每一对 (x,y) 都对应一个高度 z，它是一张向上打开的抛物面。再看
这里没有出现 z。只要 (x,y) 在半径为 2 的圆上，z 可以任意取值，所以它不是一个圆，而是一根沿 z 方向延伸的圆柱面。
读曲面方程时，先问两个问题：哪些变量真的限制了点的位置？有没有某个变量完全没有出现？缺少的变量往往表示曲面沿对应方向平移延伸。
显式曲面与隐式曲面
如果曲面可以写成 z=f(x,y)，我们常把它看成“平面上每个点的高度”。这种曲面适合用地形来想象。
F(x,y,z)=k 它更像一个三维空间中的等值面。球面、椭球面、锥面和很多物理场中的等势面，都更自然地以这种方式出现。
等值面这个语言很有用。二维地图中，等高线是高度相同的点组成的曲线；三维空间中，等值面是函数值相同的点组成的曲面。以后讨论温度场、电势场、压力场时，同一个想法会反复出现。
例题：把方程读成球面
x2+y2+z2−4x+6y−2z=10 把同类变量放在一起，准备配方：
(x2−4x)+(y2+6y)+(z2−2z)=10对每一组二次式配方。为了保持等式不变，左边补了多少，右边也补多少：
(x−2)2+(y+3)化简得到
(x−2)2+(y+3)
截痕：把三维图形切回二维
直接想象三维曲面有时很难。一个稳妥办法是用平面去切它，观察切出来的二维曲线。这样的曲线叫截痕。
- 固定 x=c，看曲面在平面 x=c 上的形状。
- 固定 y=c，看曲面在平面 y=c 上的形状。
- 固定 z=c，看曲面的水平截痕。
这是一条圆。随着 z 从 1 增大到 9，圆半径从 1 增大到 3，于是整体形状是一只向上打开的圆抛物面。
截痕法的核心不是把很多截面都画得很精确，而是抓住“截痕类型如何变化”。圆逐渐变大、椭圆逐渐变大、抛物线朝向改变，这些变化比单个截面的细节更能说明曲面整体。
例题：用截痕识别曲面
z=9−4x2−9y2 先看水平截痕。令 z=c，得到
4x2+9y2=9−c当 c<9 时，右边为正，截痕是椭圆；当 c=9 时，只剩下顶点 (0,0,9)。
再看竖直截痕。令 y=0，得到 z=9−4；令 ，得到 。两条都是向下开的抛物线。
水平截痕是椭圆，竖直截痕是向下开的抛物线，所以曲面是向下打开的椭圆抛物面，顶点在 (0,0,9)。
二次曲面的基本家族
二次曲面由三维变量的二次方程给出。这里先看没有交叉项的标准形，例如 x2、y2、z2 分别出现，变量之间不出现 xy、yz、xz。这已经覆盖了本课最常见的图形。
椭球面
a2x2+b2y2+c2z2=1 其中 a、b、c 分别控制三个坐标方向上的半轴长度。当 a=b=c 时，椭球面退回球面。只要三个半轴不完全相同，球面就被拉伸成椭球面。
抛物面
z=a2x2+b2y2 z=a2x2−b2y2 它像马鞍。沿一个方向切，抛物线向上开；沿另一个方向切，抛物线向下开。
双曲面与锥面
a2x2+b2y2−c2z2=1 它在 z=0 处有一圈“腰”，随着 ∣z∣ 增大，水平截痕变大，但曲面始终连成一片。
c2z2−a2x2−b2y2=1 它分成上下两片，中间没有点。这个差异来自右边是 1，而正号只落在 z2 一项上。
a2x2+b2y2=c2z2 它经过原点，水平截痕是随 ∣z∣ 增大的椭圆。
不要只凭“有一个负号”就匆忙判断曲面。双曲面的片数、开口轴和是否穿过原点，都要结合等式右边和正负号所在的变量一起看。
例题：识别双曲面
9x2+4y2−16z2=1 方程左边有两个正平方项和一个负平方项，右边是 1。这符合单叶双曲面的标准结构。
令 z=0，得到
9x2+4y2=1这是曲面最窄处的一条椭圆截痕。
令 z=c，得到
9x2
坐标变换的直观来源
直角坐标用 (x,y,z) 描述点的位置。它适合长方体、平面边界和沿坐标轴排列的对象。可很多空间区域本身带有圆、球或旋转对称性。此时继续用 x、y、z 描述，边界方程可能会变得很别扭。
坐标变换的目的不是换一种写法显得高级，而是让图形边界变简单。
柱坐标
x=rcosθ,y=rsinθ,z=z 其中 r 是点到 z 轴的距离，θ 是点在 xy 平面投影的极角，z 仍然是高度。
柱坐标特别适合描述圆柱、圆盘、圆锥和绕 z 轴旋转的区域。例如圆柱面
这比原来的方程更能说明它是“离 z 轴距离恒为 3 的点”。
球坐标
x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ 这里 ρ 是点到原点的距离，θ 是 xy 平面中的极角，φ 是从正 z 轴向下量到点的角。
球坐标适合球面、球壳、圆锥和以原点为中心的区域。例如球面
x2+y2+z2=25 不同教材有时会交换 θ 和 φ 的含义。做题时先看清约定。本课中，θ 在 xy 平面里转，φ 从正 z 轴向下量。
例题：同一个区域的两种描述
x2+y2≤9,0≤z≤5 先识别几何形状。x2+y2≤9 表示 xy 平面中的半径为 3 的圆盘，而 0≤z≤5 限制高度。
在柱坐标中，x2+y2=r2，所以圆盘条件变为 。
圆盘绕满一圈，所以角度范围是 0≤θ≤2π。高度没有变，仍是 0≤z≤5。
因此区域可以写成
0≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤
什么时候换坐标
选择坐标时，可以先看边界，而不是先看公式。边界如果反复出现 x2+y2，柱坐标通常值得尝试；边界如果反复出现 x2+y2+z2，球坐标通常更自然。
适合柱坐标的信号
- 围绕某一条轴旋转的区域。
- 圆柱面 x2+y2=a2。
- 圆锥面 z=kx2+y2。
- 水平圆盘、圆环、扇形柱。
z=2x2+y2 它的几何意思马上变清楚：高度与到 z 轴的距离成正比。
适合球坐标的信号
- 球面 x2+y2+z2=a2。
- 球壳 a≤x2+y2+z2≤。
- 以原点为顶点的圆锥。
- 和距离原点有关的场量。
例题：球与锥围成的区域
x2+y2+z2≤16 z=x2+y2 球面以原点为中心，所以先把 x2+y2+z2≤16 改写成 0≤ρ≤4。
圆锥条件可以用角度看。因为 z=x2+y2，在柱坐标中是 。这表示点和正 轴之间的角是 。
“在圆锥上方”表示更靠近正 z 轴，所以角度范围是 0≤φ≤4π。
区域绕 z 轴一整圈，因此 0≤θ≤2π。完整描述为
0≤
常见误区
把柱面看成平面曲线
方程 x2+y2=4 在 xy 平面里是一条圆，但在三维空间里是圆柱面。题目如果明确处在三维空间，就要允许没出现的变量自由变化。
只看一个截痕就下结论
一个曲面在某个平面上的截痕是圆，并不代表它一定是球面。圆柱面、圆锥面、抛物面、椭球面都可能出现圆形截痕。至少要比较两个方向的截痕，或同时看水平截痕如何随高度变化。
混淆双曲面的片数
单叶双曲面和双叶双曲面的公式很像。判断时不要背“正正负”这几个字就结束，要问：哪些截面存在？曲面在中间是否断开？
柱坐标中的 r 是点到 z 轴的距离；球坐标中的 ρ 是点到原点的距离。空间中同一个点通常满足
r=ρsinφ 做坐标变换时，最危险的错误是只替换一半。例如把 x2+y2 改成 r2，却忘了圆锥中的 z 和 r 之间还有角度关系。每次转换都要同时检查边界、变量范围和几何含义。
练习
练习一：配方识别球面
x2+y2+z2+2x−8y+4z=4 配方得到
(x+1)2+(y−4)2+(z+2)2=25所以这是球心为 (−1,4,−2)、半径为 5 的球面。
练习二：缺少变量
方程没有出现 z，所以平面曲线 y=x2 会沿 z 方向平移延伸，得到抛物柱面。
练习三：识别二次曲面
4x2+9y2+16z2=1 三个平方项全为正，右边是 1，所以它是椭球面。三个方向的半轴长度分别是 2、3、4。
练习四：判断抛物面的开口方向
x=4y2+9z2 这是椭圆抛物面。因为左边是 x，右边是两个非负平方项，所以顶点在原点，曲面沿正 x 方向打开。
练习五：柱坐标换算
(r,θ,z)=(4,6π,2) 使用 x=rcosθ、y=rsinθ，得到
x=4⋅23=23,y=4⋅21=2,z=2所以直角坐标是 (23,2,2)。
练习六：把方程改写成柱坐标
x2+y2=6z 因为 x2+y2=r2，方程变成
r2=6z也就是 z=6r2。这是沿正 z 方向打开的圆抛物面。
练习七：球坐标描述区域
9≤x2+y2+z2≤25 球壳只限制到原点的距离，因此
3≤ρ≤5,0≤φ≤π,0≤θ≤2π练习八：选择坐标
x2+y2≤16,y≥0,1≤z≤3 优先选柱坐标。边界 x2+y2≤16 是圆盘，y≥0 表示上半圆，对应 0≤θ≤π。高度范围仍是 1≤z≤3，所以区域可写成
0≤r≤4,0≤θ≤π,1≤z≤32
+
(z−
1)2=
10+
4+
9+
1
2
+
(z−
1)2=
24
所以这是以 (2,−3,1) 为球心、半径为 26 的球面。
x
2
z=9−9y2
+
4y2=
1+
16c2
右边随 ∣c∣ 增大而增大，水平椭圆也随之变大。曲面沿 z 方向延伸，是一张以 z 轴为中心轴的单叶双曲面。
0≤r≤3
z
≤
5
这正是一根半径为 3、高度为 5 的实心圆柱。
b
φ=4π
ρ≤
4,0≤
φ≤
4π,0≤
θ≤
2π
