保守场、势函数与路径无关 | 多变量微积分 I | 自在学保守场、势函数与路径无关
图：在保守场里，从同一起点到同一终点的功只由势函数的变化决定。
上一章中，向量线积分写成
∫CF⋅dr
它表示沿路径 C 累加向量场在切向方向上的分量。如果 F 是力场，这个积分就是沿路径做的功。
这一章回答一个更细的问题：什么时候这件事不用真的沿路径算，只看起点和终点就够了？
这个问题很像一维微积分中的基本定理。若 ，则
F(x)=f′(x)
∫abF(x)dx=f(b)−f(a) 多变量中也有同样的结构。若向量场是某个标量函数的梯度，线积分就会被端点值“接管”。这类向量场叫保守场，那个标量函数叫势函数。
只看端点是什么意思
F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩ 沿参数曲线 r(t)=⟨x(t),y(t)⟩，a≤t≤b 的向量线积分是
∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t)dt ∫CPdx+Qdy 一般来说，这个积分会受路径形状影响。即使起点和终点一样，绕一条弯路与走直线可能得到不同结果。
本章说的“路径无关”不是说路径没有方向。线积分仍然有方向：从 A 到 B 的积分若等于某个数，从 B 到 A 的积分就是它的相反数。路径无关只是在方向和端点固定时，不再关心中间怎么走。
图：保守场中积分由端点决定；非保守场中，不同路径可能累加出不同结果。
下面这个交互用两个熟悉的场做对比。一个是 ⟨2x,2y⟩，另一个是 ⟨−y,x⟩。前者来自势函数 x2+y2，后者带有旋转趋势。
保守场与势函数
若在区域 D 上存在一个可微标量函数 f，使得
∇f=F fx=P,fy=Q 那么 F 就叫 D 上的保守向量场，f 叫 F 的势函数。
在平面上，势函数像一张高度图。向量场 ∇f 在每一点指向 f 增长最快的方向，长度表示增长快慢。等势线上 f 的值不变，所以梯度方向与等势线垂直。
图：势函数给出高度，梯度场给出每一点最陡上升方向。
如果 F=∇f，沿路径 r(t) 的线积分有链式法则：
F(r(t))⋅r′(t)=∇f(r(t))⋅r′(t)=dtdf(r(t)) ∫CF⋅dr=∫abdtdf(r(t))dt=f(r(b))−f(r(a)) 一旦找到了势函数，线积分就变成端点代入。计算不再需要参数化路径，也不需要沿曲线逐段积分。
物理课里常把势能 U 与力场写成 F=−∇U。这里的数学约定是 F=∇f。两种写法只差一个负号：若 f=−U，它们说的是同一件事。
路径无关、闭合积分和势函数
在一个合适的连通区域中，下面三句话表达的是同一类结构：
- F 是保守场，也就是存在势函数 f，使 F=∇f。
- ∫CF⋅dr 与路径无关，只取决于起点和终点。
- 对区域内任意闭合路径 C，都有
∮CF⋅dr=0 从势函数推出路径无关最直接：积分等于 f(B)−f(A)。从路径无关推出闭合积分为零也很自然：一条闭合路径的起点和终点相同，所以端点差为 0。
反过来，若任意闭合路径积分都为 0，就可以固定一个基准点 A，定义
f(B)=∫ABF⋅dr 由于路径无关，这个定义不会因选路不同而改变。这样构造出的 f 就是势函数。
图：闭合路径积分为零表示绕一圈没有净累加；旋转场可能产生非零环流。
“闭合积分为零”必须针对区域内所有允许的闭合路径。只检查一个圆、一条三角形边界或几条特殊路径，并不能证明向量场保守。
怎样构造势函数
fx=P,fy=Q 对平面场 F=⟨P,Q⟩，常用步骤是：
先对 P 关于 x 积分。因为这是偏积分，y 在这一步被看作常数，积分后要加上只依赖 y 的未知函数 h(y)。
再把得到的候选函数对 y 求偏导，并让它等于 Q。这一步会给出 h′(y)。
若 h′(y) 只依赖 y，就能继续积分得到 h(y)，从而得到势函数。若等式要求 还依赖 ，说明不存在这样的势函数。
下面的交互把这三步拆开。每次只显示一步，适合练习“先对谁积分、常数函数该怎么补”。
例题：由向量场找势函数
F(x,y)=⟨2xy+3, x2+4y⟩ 是否保守。若保守，求从 A=(0,1) 到 B=(2,3) 的线积分。
设势函数为 f。由 fx=2xy+3，先对 x 积分：
f(x,y)=x2y+3x+h(y)对候选函数求 y 偏导：
fy=x2+对 h′(y) 积分得到 h(y)=2y2。因此一个势函数是
用端点代入计算线积分：
∫CF⋅dr=f(2,3)−势函数不唯一。如果 f 是势函数，那么 f+C 也是势函数，因为常数的梯度为零。线积分只用端点差，常数会自动抵消。
平面上的判别条件
F=⟨P,Q⟩ 且 P,Q 的一阶偏导连续，那么保守场一定满足
∂y∂P=∂x∂Q 原因是若 P=fx、Q=fy，则
Py=fxy,Qx=fyx 在没有洞的区域中，这个条件也可以反过来使用。更准确地说：若 D 是开、连通、单连通的区域，P,Q 有连续一阶偏导，并且在 D 上处处满足
那么 F 在 D 上是保守场。
常见错误是只算出 Py=Qx，就马上断言保守。这个结论需要区域没有洞。若区域挖掉了一点或一块，绕洞的闭合路径可能保留非零积分。
这个检查器把“偏导相等”和“区域形状”分开判断。先看局部条件，再看能不能得到全局保守性。
反例：局部无旋不等于全局保守
D=R2∖{(0,0)} F(x,y)=⟨x2+y2−y,x2+y2x⟩ 图：局部条件看起来正常，但绕着被挖掉的原点走一圈会累加出非零结果。
r(t)=⟨cost,sint⟩,0≤t≤2π F(r(t))=⟨−sint,cost⟩ r′(t)=⟨−sint,cost⟩ ∮CF⋅dr=∫02π1dt=2π 这个反例的关键不在公式复杂，而在区域有洞。单位圆围住了原点，但原点不在区域里。路径不能连续缩成一点，绕洞的累计量就可能留下来。
两条路径的直接比较
F(x,y)=⟨−y,x⟩ 从 A=(0,0) 到 B=(1,1)。
沿直线 C1:r(t)=⟨t,t⟩，0≤t≤1，有
F(r(t))=⟨−t,t⟩,r′(t)=⟨1,1⟩ ∫C1F⋅dr=∫01(−t+t)dt=0 沿折线路径 C2：先从 (0,0) 到 (1,0)，再从 (1,0) 到 (1,1)。
第一段中 y=0，dr=⟨dx,0⟩，因此积分为 0。第二段中 x=1，dr=⟨0,dy⟩，于是
F=⟨−y,1⟩,F⋅dr=dy ∫01dy=1 两条路径的起点终点相同，积分却分别为 0 和 1。这说明 ⟨−y,x⟩ 不是保守场。
路径不同但结果偶然相同，并不能证明保守。要证明路径无关，需要所有同端点路径都给出相同积分，或者使用势函数、闭合积分、判别条件等更强的方法。
解题时的判断路线
遇到 ∫CPdx+Qdy，可以按下面的顺序判断：
先看题目是否已经给出势函数，或者向量场是否明显是某个熟悉函数的梯度。例如 ⟨2x,2y⟩=∇(x2+y2)。
若没有明显势函数，就计算 Py 和 Qx。若二者不相等，向量场一定不是保守场，通常需要沿给定路径直接积分。
若 Py=Qx，继续检查区域。若区域是整个平面、矩形、圆盘或没有洞的简单区域，可以断定保守，并尝试构造势函数。
若区域有洞或题目排除了某些点，不能只靠 Py=Qx 下结论。此时要寻找势函数，或检查绕洞闭合路径的积分。
一旦确认保守，就用 f(B)−f(A)。只有在无法确认保守或题目要求比较路径时，才回到参数化路径的直接计算。
可以把这章的核心记成一句话：保守场把沿途累加的问题，变成势函数端点值的差。
练习
练习 1
F(x,y)=⟨3x2y, x3+2y⟩ 在 R2 上是否保守。若保守，求一个势函数。
先算
Py=3x2,Qx=3x2整个平面没有洞，所以该场保守。由 fx=3x2y 得
f=x3y+h(y)再由
fy=x3+h′(y)=x得 h′(y)=2y，所以 h(y)=y2+C。一个势函数是
f(x,y)=x3y+y2练习 2
F(x,y)=⟨excosy, −exsiny⟩ 从 (0,0) 到 (ln2,π/3) 的线积分。
这个场来自势函数
f(x,y)=excosy因为
fx=excosy,fy=−exsiny所以线积分为
f(ln2,π/3)−f(0,0)=2⋅21−练习 3
F(x,y)=⟨y2, 2xy+1⟩ 求从 (1,0) 到 (2,3) 的线积分。
先检查
Py=2y,Qx=2y在整个平面上保守。由 fx=y2 得
f=xy2+h(y)再由
fy=2xy+h′(y)=2xy+1得 h′(y)=1，所以 h(y)=y。取
f(x,y)=xy2+y于是
∫CF⋅dr=f(2,3)−f(1,0)=练习 4
若 F=∇f，其中
f(x,y)=x2y+siny 求 ∮CF⋅dr，其中 C 是平面上任意一条闭合曲线，方向任意。
因为 F 明确是某个势函数的梯度，所以它是保守场。闭合曲线起点和终点相同，端点值差为
f(A)−f(A)=0因此
∮CF⋅dr=0练习 5
在区域 R2∖{(0,0)} 上，向量场
F(x,y)=⟨x2+y2−y,x2+y2x⟩ 满足 Py=Qx。这是否足以说明它保守？为什么？
不够。区域去掉了原点，有洞，不是单连通区域。这个场沿单位圆逆时针走一圈时，
∮CF⋅dr=2π闭合路径积分不为零，所以它不是该区域上的保守场。这个例子说明 Py=Qx 必须配合区域条件使用。
h′(y)
h′(y)
它应等于 Q=x2+4y，所以 h′(y)=4y。
+
C
f(x,y)=x2y+3x+2y2
f(0,1)
f(2,3)=4⋅3+6+18=36,f(0,1)=2 所以积分为 34。路径 C 只要在同一区域内从 A 到 B，答案都一样。
3
+
2y
1=
0
(18+
3)−
0=
21
