柱坐标与球坐标：让坐标贴着实体走

上一章里，我们把空间实体切成许多小长方体，再用三重积分把这些小块的贡献加起来。这个办法在盒子、棱柱一类区域上很顺，因为边界本来就贴着 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个方向。

可一旦实体变成圆柱、圆锥或球，直角坐标的小盒子就开始“不合身”了。它们当然仍能铺满实体，积分也照样成立，但每一层积分限都要描述“小盒子在什么时候撞上弯曲边界”。一个半径为 $R$ 的球，光是上下边界就会变成

z=\pm\sqrt{R^2-x^2-y^2}.

这时真正卡住我们的往往不是积分，而是坐标轴选得不贴合形状。柱坐标把绕轴旋转的实体切成薄楔块，球坐标把围绕原点展开的实体切成小球面盒子。边界一旦变成“半径等于常数”或“角度等于常数”，积分限就会短很多。

这一章接着三重积分往前走。我们会把点、函数、区域和体积微元一起换到新坐标中，并解释为什么柱坐标里必须出现 $r$ ，球坐标里必须出现 $\rho^2\sin\phi$ 。最后再把这两个因子放回一般的空间坐标变换中，为后面的 Jacobian 做好准备。

先看直角小盒子为什么不贴合

想象一个绕 $z$ 轴对称的圆柱。用直角坐标切它时，小块沿 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个方向排成方格，但圆柱侧面不沿任何一组方格线。固定 $x$ 后， $y$ 的范围要靠圆方程解出来；如果边界再换成球面或圆锥面，根式和分段会继续增加。

换坐标的想法并不神秘：我们不再坚持用“向右多少、向前多少、向上多少”描述一个点，而是改问更贴合形状的问题。

柱坐标问：离 $z$ 轴多远、绕轴转了多少、竖直高度是多少？
球坐标问：离原点多远、从正 $z$ 轴向下偏了多少、绕 $z$ 轴转了多少？

三维坐标系中同一点 P 用直角坐标、柱坐标和球坐标表示的教学插图

同一个空间点没有移动，改变的只是描述它的三把“尺子”。

柱坐标怎样描述一个点

柱坐标记作 $(r,\theta,z)$ 。它保留直角坐标中的高度 $z$ ，只把 $xy$ 平面里的 $(x,y)$ 换成极坐标：

x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta, \qquad z=z.

这里 $r\ge 0$ 是点到 $z$ 轴的距离， $\theta$ 是点在 $xy$ 平面上的投影从正 $x$ 轴逆时针转过的方位角。反过来，

r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).

写 $\operatorname{atan2}(y,x)$ ，是因为只看 $\tan\theta=y/x$ 会丢掉象限信息。比如 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 的正切值相同，方位角却相差 $\pi$ 。

三个坐标保持常数时，得到的曲面也很直观： $r=c$ 是圆柱面， $\theta=c$ 是穿过 $z$ 轴的竖直半平面， $z=c$ 是水平平面。这正是柱坐标适合旋转体的原因。

球坐标怎样描述一个点

本章把球坐标写成 $(\rho,\phi,\theta)$ ，并固定使用下面的角度约定：

$\rho\ge 0$ 是点到原点的距离；
$0\le\phi\le\pi$ 是从正 $z$ 轴向下量的极角；
$\theta$ 是 $xy$ 平面内从正 $x$ 轴量起的方位角。

因此

x=\rho\sin\phi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\phi.

如果先看点在 $xy$ 平面上的投影，就能记住这些式子。投影半径是

r=\rho\sin\phi,

再把这个 $r$ 分到 $x$ 、 $y$ 两个方向；竖直分量则是 $z=\rho\cos\phi$ 。于是球坐标可以看成“先从 $(\rho,\phi,\theta)$ 得到 $(r,\theta,z)$ ，再从 $(r,\theta,z)$ 得到 $(x,y,z)$ ”。

球坐标的三个坐标曲面分别是： $\rho=c$ 为以原点为球心的球面， $\phi=c$ 为以 $z$ 轴为轴的圆锥面， $\theta=c$ 为穿过 $z$ 轴的竖直半平面。

球坐标的角度记号并不统一。有些题目会交换 $\phi$ 与 $\theta$ 的名字。本章始终让 $\phi$ 从正 $z$ 轴向下量，让 $\theta$ 在 $xy$ 平面内绕圈。做题时不要只看字母，要先看角是从哪条轴量起的。

一个点怎样在三套坐标之间转换

把点 $(1,\sqrt3,2)$ 换成柱坐标。它到 $z$ 轴的距离为

r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2,

投影落在第一象限，并且 $\tan\theta=\sqrt3$ ，所以 $\theta=\pi/3$ 。柱坐标是

\left(2,\frac{\pi}{3},2\right).

再换成球坐标。到原点的距离为

\rho=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2+2^2}=2\sqrt2.

极角满足

\cos\phi=\frac{z}{\rho}=\frac{1}{\sqrt2},

所以 $\phi=\pi/4$ ，方位角仍是 $\pi/3$ 。球坐标是

\left(2\sqrt2,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right).

这里有一个小细节：同一个点的角度表示并不唯一， $\theta$ 加上任意整数倍的 $2\pi$ 仍表示同一方向；在 $r=0$ 或 $\rho=0$ 时，方位角甚至没有唯一值。积分通常选一段连续的角度区间覆盖区域一次即可。

柱坐标：把小长方体换成薄楔块

柱坐标最适合处理绕 $z$ 轴的结构。题目里反复出现 $x^2+y^2$ 、圆盘、圆柱面、圆锥或旋转抛物面时，可以先试着写成 $r^2$ 。

不过，只把 $x$ 、 $y$ 换成 $r\cos\theta$ 、 $r\sin\theta$ 还不够。三重积分累加的是实际体积，新坐标里的小块已经不是边长 $dr$ 、 $d\theta$ 、 $dz$ 的直角盒子了。

为什么体积微元里有一个 $r$

在半径 $r$ 附近取一个很窄的扇环，再向上拉出高度 $dz$ 。这个薄楔块的三条局部边长近似为

dr, \qquad r\,d\theta, \qquad dz.

$d\theta$ 只是角度，不是长度。半径为 $r$ 的圆上，角度 $d\theta$ 对应的弧长才是 $r\,d\theta$ 。三条边相乘得到

dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

柱坐标中的薄楔形体积微元，标出径向厚度 dr、弧向长度 r dθ、高度 dz 以及 dV≈r dr dθ dz

如果想把这个近似看得更扎实，可以直接算一个有限小楔块的体积。它的底面是半径从 $r$ 到 $r+\Delta r$ 、角度宽度为 $\Delta\theta$ 的扇环，所以

\Delta V = \frac12\left((r+\Delta r)^2-r^2\right) \Delta\theta\,\Delta z.

展开后得到

\Delta V = \left(r\,\Delta r+\frac12(\Delta r)^2\right) \Delta\theta\,\Delta z.

当切分越来越细， $(\Delta r)^2$ 比 $\Delta r$ 小一个量级，极限中留下的正是一阶项

r\,dr\,d\theta\,dz.

因子 $r$ 在给角度“换算长度”。同样是转过 $1^\circ$ ，靠近轴时扫过的弧很短，离轴很远时扫过的弧很长。若漏掉 $r$ ，就等于把不同半径处的楔块误当成同样宽。

柱坐标怎样定积分限

对绕 $z$ 轴的实体，最常见的顺序是先沿竖直线穿过实体，再扫底面：

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta_0}^{\theta_1} \int_{r_0(\theta)}^{r_1(\theta)} \int_{z_{\mathrm{下}}(r,\theta)}^{z_{\mathrm{上}}(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z) r\,dz\,dr\,d\theta.

读这个式子时，可以按下面的顺序想：

先从上往下看，把实体投影到 $xy$ 平面；
用 $\theta$ 决定绕轴扫过哪些方向；
固定方向后，用 $r$ 从内边界走到外边界；
在每个 $(r,\theta)$ 上，用 $z$ 从下表面走到上表面。

如果实体更适合按圆柱壳切，也可以改变积分次序。坐标系决定小块的形状，积分次序决定我们先把哪些小块合并，这两件事不要混在一起。

例题：圆柱里的密度会随高度和半径变化

实体 $E$ 满足

x^2+y^2\le 4, \qquad 0\le z\le 3,

密度为

\delta(x,y,z)=z+\sqrt{x^2+y^2}.

求实体的质量。

圆形底面和径向密度都在提示柱坐标。区域投影是一整张半径为 $2$ 的圆盘，所以

0\le\theta\le 2\pi, \qquad 0\le r\le 2, \qquad 0\le z\le 3.

把密度也换过去。因为 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ ，所以 $\delta=z+r$ 。质量积分中的“小块质量”是密度乘体积，别忘了再乘 Jacobian 因子 $r$ ：

M= \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^3 (z+r)r\,dz\,dr\,d\theta.

先沿高度积分：

\int_0^3(z+r)r\,dz =\frac92r+3r^2.

再沿半径积分：

\int_0^2\left(\frac92r+3r^2\right)dr =17.

最后让 $\theta$ 绕完整一圈：

M=\int_0^{2\pi}17\,d\theta=34\pi.

结果里不再出现 $r$ 、 $\theta$ 、 $z$ ，因为它们只是积分过程中给小块编号的变量。

例题：抛物面与平面之间的体积

求曲面

z=9-x^2-y^2

与平面 $z=0$ 围成的体积。

由抛物面 z=9-r² 与平面 z=0 围成的旋转抛物面实体，底面半径为 r=3，并标出柱坐标范围

抛物面在柱坐标中变成 $z=9-r^2$ 。它与 $z=0$ 相交时 $r=3$ ，所以

0\le\theta\le 2\pi, \qquad 0\le r\le 3, \qquad 0\le z\le 9-r^2.

于是

\begin{aligned} V &=\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_0^{9-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\int_0^3(9-r^2)r\,dr\\ &=\frac{81\pi}{2}. \end{aligned}

直角坐标并非不能做这道题，只是底面圆盘会被写成根式边界。柱坐标让“旋转对称”一直保留在积分限里。

球坐标：沿方向射出一条射线

柱坐标已经能把球写成

r^2+z^2\le R^2,

但若把 $z$ 放在最内层，仍会遇到 $\pm\sqrt{R^2-r^2}$ 。问题在于球面关心的是到原点的距离，而柱坐标的 $r$ 只量到 $z$ 轴的距离。球坐标干脆把“到原点多远”设成一个坐标，于是球面直接变成 $\rho=R$ 。

为什么体积微元是 $\rho^2\sin\phi$

固定一个点 $(\rho,\phi,\theta)$ ，让三个坐标分别增加一点点。三种移动对应的局部边长是：

d\rho, \qquad \rho\,d\phi, \qquad \rho\sin\phi\,d\theta.

第一条是沿射线向外移动，长度就是 $d\rho$ 。第二条是在半径为 $\rho$ 的圆上改变极角，弧长是 $\rho\,d\phi$ 。第三条最容易漏：改变方位角时，点沿一条水平圆转动，这条圆的半径不是 $\rho$ ，而是点到 $z$ 轴的距离 $\rho\sin\phi$ ，所以弧长是 $\rho\sin\phi\,d\theta$ 。

三条近似互相垂直的局部边相乘，得到

dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta.

球坐标中由 dρ、ρ dφ、ρ sinφ dθ 三条近似边长围成的体积微元示意图

这个因子的形状也经得住直觉检查。 $\rho$ 增大时，两条切向边都按比例变长，因此出现 $\rho^2$ ；靠近两极时 $\sin\phi$ 接近 $0$ ，纬圈缩成很小的圆，同样的 $d\theta$ 扫过的体积也应接近 $0$ 。在赤道附近， $\sin\phi$ 最大，纬向小块也最宽。

球坐标的体积微元不是 $\rho^2\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ 。少掉 $\sin\phi$ ，就会把靠近两极的狭窄小块当成和赤道附近一样宽。这个错误算出的甚至不是普通三维空间里的体积。

球坐标怎样定积分限

球坐标最常用的画面是“先选方向，再沿射线走”。一般写成

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta_0}^{\theta_1} \int_{\phi_0(\theta)}^{\phi_1(\theta)} \int_{\rho_{\mathrm{内}}(\phi,\theta)}^{\rho_{\mathrm{外}}(\phi,\theta)} f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi) \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta.

定限时可以依次问三件事：

从上往下看，方位角 $\theta$ 要绕过哪些方向？
从正 $z$ 轴向下看，极角 $\phi$ 要张开多大？
固定方向后，从原点沿射线出发， $\rho$ 在哪里进入实体，又在哪里离开实体？

完整球体覆盖所有方位和从北极到南极的所有极角，因此

0\le\theta\le 2\pi, \qquad 0\le\phi\le\pi, \qquad 0\le\rho\le R.

上半球只覆盖 $z\ge0$ ，也就是 $\cos\phi\ge0$ ，所以把极角缩成 $0\le\phi\le\pi/2$ 。若区域被圆锥截住，先把圆锥翻译成 $\phi$ 的边界；若被球面截住，就把球面翻译成 $\rho$ 的边界。

例题：从体积微元重新得到球体体积

半径为 $a$ 的球体在球坐标中有最简单的三组限：

0\le\rho\le a, \qquad 0\le\phi\le\pi, \qquad 0\le\theta\le2\pi.

因此

\begin{aligned} V &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &=\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\right) \left(\int_0^a\rho^2\,d\rho\right)\\ &=2\pi\cdot2\cdot\frac{a^3}{3} =\frac43\pi a^3. \end{aligned}

这次三个积分能完全分开，并不是碰巧，而是区域的三个边界刚好分别由 $\rho$ 、 $\phi$ 、 $\theta$ 单独控制。

例题：球内、圆锥上方的区域

设 $E$ 位于半径为 $4$ 的球内，并在圆锥 $\phi=\pi/3$ 的上方。这里“上方”指靠近正 $z$ 轴的一侧。

半透明球体内由圆锥 φ=π/3 围成并被球面 ρ=4 截断的球内圆锥帽区域示意图

靠近正 $z$ 轴意味着极角从 $0$ 开始，直到碰到圆锥；球面则限制径向距离。因此

0\le\theta\le2\pi, \qquad 0\le\phi\le\frac{\pi}{3}, \qquad 0\le\rho\le4.

体积为

\begin{aligned} V &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/3}\int_0^4 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &=2\pi\cdot\left(1-\cos\frac{\pi}{3}\right)\cdot\frac{64}{3}\\ &=\frac{64\pi}{3}. \end{aligned}

如果题目把圆锥写成 $z=kr$ ，也能直接找出极角：

\rho\cos\phi = k\rho\sin\phi,

所以

\tan\phi=\frac1k.

“圆锥上方”对应较小的 $\phi$ ，“圆锥下方”对应较大的 $\phi$ 。这里最好画一条从正 $z$ 轴向下张开的射线，不要只靠“上、下”两个字猜不等号方向。

例题：球内的径向函数

计算

\iiint_B(x^2+y^2+z^2)\,dV,

其中 $B$ 是以原点为球心、半径为 $2$ 的球体。

区域由到原点的距离控制，被积函数也恰好是距离的平方，所以选择球坐标。此时

x^2+y^2+z^2=\rho^2.

完整球体的范围是 $0\le\rho\le2$ 、 $0\le\phi\le\pi$ 、 $0\le\theta\le2\pi$ 。把函数和体积微元同时换掉：

\iiint_B(x^2+y^2+z^2)\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^2 \rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.

三个变量分开计算：

2\pi\cdot2\cdot\frac{2^5}{5} =\frac{128\pi}{5}.

这里的 $\rho^4$ 有两个来源：被积函数给出 $\rho^2$ ，体积微元又给出 $\rho^2$ 。

定限时先看边界，再决定坐标

很多同学看到“三重积分”就立刻挑一种坐标开始代换，结果做到一半才发现某个边界必须分段。更稳的做法是先盘点所有边界：哪些到轴距离固定，哪些到原点距离固定，哪些是水平面，哪些是圆锥面。坐标系要照顾整个区域，而不是只照顾其中一个式子。

圆柱、球体和圆锥三种空间区域对比，展示柱坐标、球坐标和 φ 为常数的坐标曲面选择

看到的结构	换坐标后的样子	通常先试
$x^2+y^2=a^2$	$r=a$	柱坐标
$x^2+y^2+z^2=a^2$	$\rho=a$	球坐标
$z=x^2+y^2$	$z=r^2$	柱坐标
$z=k\sqrt{x^2+y^2}$	$z=kr$ 或 $\tan\phi=1/k$	看其余边界
$x^2+y^2$ 出现在函数中	$r^2$	柱坐标
$x^2+y^2+z^2$ 出现在函数中	$\rho^2$	球坐标

一个实用的选坐标流程

遇到新的空间区域时，可以按这个顺序判断：

先找对称中心。区域绕 $z$ 轴旋转，柱坐标往往占优；区域围绕原点呈球对称，球坐标往往占优。
再翻译边界。看圆柱面、球面、圆锥面、抛物面和平面在新坐标中能否变成常数或简单函数。
然后翻译被积函数。区域虽然适合球坐标，但若函数换过去变得非常复杂，仍要比较总成本。
最后检查是否需要分段。固定外层变量后，沿内层方向前进时，如果会先后撞上不同边界，通常需要拆区间。

“有圆就用柱坐标，有球就用球坐标”只能当起点，不能当结论。比如一个球被水平平面截断时，球坐标可能出现 $\rho=h/\cos\phi$ ；一个圆锥被水平平面截断时，柱坐标反而可能更短。真正的标准是：哪套坐标能让整个区域和被积函数一起变简单。

从两个特殊因子走向一般 Jacobian

柱坐标里的 $r$ 和球坐标里的 $\rho^2\sin\phi$ 看起来不同，其实做的是同一件事：它们都在记录一个参数小盒子经过坐标变换后，实际体积被放大或缩小了多少。

设一般坐标变换为

(x,y,z)=T(u,v,w).

在参数空间里，一个小盒子的三条边分别沿 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 方向。经过变换后，这三条边在真实空间中近似变成

T_u\,du, \qquad T_v\,dv, \qquad T_w\,dw,

其中

T_u= \begin{pmatrix} x_u\\y_u\\z_u \end{pmatrix}, \qquad T_v= \begin{pmatrix} x_v\\y_v\\z_v \end{pmatrix}, \qquad T_w= \begin{pmatrix} x_w\\y_w\\z_w \end{pmatrix}.

这三个向量张成一个小平行六面体。它的体积等于标量三重积的绝对值，因此

dV = \left| \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} \right| du\,dv\,dw.

这个行列式就是三维 Jacobian。取绝对值，是因为行列式的正负记录方向是否翻转，而普通体积不能为负。

参数小块 du dv 经过坐标变换 T 后，变成实际面积约为 |J| du dv 的弯曲小面片

图里画的是二维小块，但空间中的逻辑完全一样：二维看小平行四边形的面积，三维看小平行六面体的体积。

柱坐标的 Jacobian

柱坐标变换是

x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta, \qquad z=z.

对应的行列式为

\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =r.

这和薄楔块给出的结果一致。

球坐标的 Jacobian

球坐标变换是

x=\rho\sin\phi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\phi.

把九个一阶偏导数排进行列式并化简，可以得到

\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} \right| =\rho^2\sin\phi.

几何边长和 Jacobian 行列式给出同一个答案，一个负责建立直觉，一个负责处理更一般、未必正交的坐标变换。下一章会把这个方法推广到任意二维变量替换，并更仔细地处理变换方向、区域映射与行列式绝对值。

换坐标时可以做一次“四项对账”：点的坐标关系改了吗？被积函数改了吗？区域的全部边界改了吗？体积微元乘 Jacobian 了吗？四项都对上，原积分和新积分才是在累加同一个量。

常见误区

把 $r$ 和 $\rho$ 当成同一个距离

柱坐标里的 $r$ 是到 $z$ 轴的距离，球坐标里的 $\rho$ 是到原点的距离。它们满足

r=\rho\sin\phi, \qquad \rho^2=r^2+z^2.

只有在 $z=0$ 平面上， $r$ 才与 $\rho$ 相等。

只改积分限，不改被积函数

如果原函数含有 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，换坐标后也必须把它们全部改写。比如 $x$ 在柱坐标中是 $r\cos\theta$ ，在球坐标中是 $\rho\sin\phi\cos\theta$ 。最终积分里不应再混着旧变量和新变量。

把角度微分当成长度

$d\theta$ 和 $d\phi$ 都是角度。它们只有乘上相应半径后，才变成局部弧长。柱坐标中的角向长度是 $r\,d\theta$ ；球坐标中的两条角向长度是 $\rho\,d\phi$ 与 $\rho\sin\phi\,d\theta$ 。

角度范围覆盖了区域两次

通常取 $r\ge0$ 、 $\rho\ge0$ ，再让方位角覆盖长度为 $2\pi$ 的区间。如果同时允许负半径并让角度转完整一圈，同一点可能被重复计算。定限的目标是让区域内部除边界外的点恰好出现一次。

用“上方”直接猜 $\phi$ 的不等号

$\phi$ 从正 $z$ 轴向下量。越靠近正 $z$ 轴， $\phi$ 越小；越靠近南半球， $\phi$ 越大。所以圆锥上方通常对应 $0\le\phi\le\phi_0$ ，不是 $\phi_0\le\phi\le\pi$ 。

练习

练习 1

把点 $(0,-2,2)$ 写成柱坐标和本章约定下的球坐标。取 $0\le\theta<2\pi$ 、 $0\le\phi\le\pi$ 。

柱坐标中

r=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2.

点的投影落在负 $y$ 轴上，所以 $\theta=3\pi/2$ ，高度仍是 $z=2$ 。柱坐标为

\left(2,\frac{3\pi}{2},2\right).

球坐标中

\rho=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt2, \qquad \cos\phi=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.

因此 $\phi=\pi/4$ ，方位角仍是 $3\pi/2$ 。球坐标为

\left(2\sqrt2,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right).

练习 2

用柱坐标写出圆柱

x^2+y^2\le9, \qquad -1\le z\le2

的体积积分，并求体积。

练习 3

用球坐标计算半径为 $5$ 的上半球体积。

上半球满足 $z\ge0$ ，即 $\rho\cos\phi\ge0$ 。除原点外 $\rho>0$ ，因此 $0\le\phi\le\pi/2$ 。积分为

V= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^5 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.

于是

V =2\pi\cdot1\cdot\frac{125}{3} =\frac{250\pi}{3}.

练习 4

写出半径为 $2$ 的球内、圆锥

z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}

上方区域的球坐标积分限，并求体积。

圆锥方程在球坐标中变成

\rho\cos\phi = \sqrt3\rho\sin\phi.

除原点外可以约去 $\rho$ ，得到 $\cot\phi=\sqrt3$ ，所以边界角为 $\phi=\pi/6$ 。圆锥上方靠近正 $z$ 轴，因此

0\le\theta\le2\pi, \qquad 0\le\phi\le\frac{\pi}{6}, \qquad 0\le\rho\le2.

体积为

\begin{aligned} V &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/6}\int_0^2 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &=\frac{16\pi}{3} \left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{aligned}

练习 5

计算

\iiint_E e^{x^2+y^2}\,dV,

其中 $E$ 是圆柱 $x^2+y^2\le1$ 、 $0\le z\le1$ 。

区域和函数都由 $x^2+y^2$ 控制，选择柱坐标：

\iiint_E e^{x^2+y^2}\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1 e^{r^2}r\,dz\,dr\,d\theta.

先对 $z$ 积分得到因子 $1$ 。再令 $u=r^2$ ， $du=2r\,dr$ ：

2\pi\int_0^1 e^{r^2}r\,dr =2\pi\cdot\frac{e-1}{2} =\pi(e-1).

练习 6

有同学计算单位球体体积时写成

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^2\,d\rho\,d\phi\,d\theta.

指出错误，并分别算出错误结果与正确结果。

错误在于球坐标体积微元少了 $\sin\phi$ 。原式会得到

2\pi\cdot\pi\cdot\frac13 =\frac{2\pi^2}{3}.

正确积分应为

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta,

所以

V =2\pi\cdot2\cdot\frac13 =\frac{4\pi}{3}.

少掉 $\sin\phi$ 后，靠近两极的纬向小块被错误地当成与赤道附近一样宽。

练习 7

设 $E$ 位于球 $x^2+y^2+z^2\le4$ 内、圆锥 $z\ge\sqrt{x^2+y^2}$ 上方，并满足 $x\ge0$ 。写出 $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ 的球坐标形式，不要求计算。

球面给出 $0\le\rho\le2$ 。圆锥边界满足

\rho\cos\phi=\rho\sin\phi,

所以 $\phi=\pi/4$ ；圆锥上方对应 $0\le\phi\le\pi/4$ 。条件 $x\ge0$ 等价于 $\cos\theta\ge0$ ，可以取

-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

因此

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi) \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta.

练习 8

区域夹在抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=4$ 之间。说明为什么柱坐标比球坐标更自然，并写出体积积分。

柱坐标把抛物面变成 $z=r^2$ ，平面仍是 $z=4$ 。两曲面相交时 $r^2=4$ ，所以 $0\le r\le2$ 。全部积分限为

0\le\theta\le2\pi, \qquad 0\le r\le2, \qquad r^2\le z\le4.

体积积分是

V= \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.

球坐标会让平面变成 $\rho=4/\cos\phi$ ，抛物面变成 $\rho=\cos\phi/\sin^2\phi$ ，还要判断射线先碰到哪一个边界，因此需要按 $\phi$ 分段。柱坐标把上下曲面直接放进 $z$ 的两条限里，结构更短。