柱坐标、球坐标与空间坐标变换

这一章只处理最常用的两套空间坐标：柱坐标和球坐标。我们会把它们看成从参数空间到真实空间的映射，并把体积微元里的 $r$、$\rho^2\sin\phi$ 解释成小块被拉伸后的体积比例。

同一个点的三种说法

空间中的一个点可以用直角坐标写成 $(x,y,z)$。如果点的投影在 $xy$ 平面上更重要，我们用柱坐标；如果点到原点的距离和方向更重要，我们用球坐标。

同一个空间点可以用直角坐标 $(x,y,z)$、柱坐标 $(r,\theta,z)$ 或球坐标 $(\rho,\phi,\theta)$ 来定位。

柱坐标保留竖直方向的 $z$，只把 $xy$ 平面中的直角坐标换成极坐标：

这里 $r\ge 0$ 是点到 $z$ 轴的距离，$\theta$ 是从正 $x$ 轴转到点的投影所需的角度。反过来，

球坐标从原点出发定位点。本文使用多元微积分中常见的约定：$\rho$ 是点到原点的距离，$\phi$ 是从正 $z$ 轴向下量到射线 $OP$ 的角，$\theta$ 仍是 $xy$ 平面中的方位角。

其中 $\rho\ge 0$，$0\le \phi\le \pi$。点在 $xy$ 平面上的投影半径是

把点 $(1,\sqrt 3,2)$ 写成柱坐标时，$r=2$，$\theta=\pi/3$，$z=2$。写成球坐标时，$\rho=\sqrt{1+3+4}=2\sqrt2$，而

所以 $\phi=\pi/4$，方位角仍是 $\theta=\pi/3$。同一个点没有变，变的是我们描述它的语言。

柱坐标中的体积微元

柱坐标适合围绕一条轴旋转的区域。常见信号包括 $x^2+y^2$、圆柱面、圆盘底面、绕 $z$ 轴对称的密度函数。柱坐标的坐标曲面也很好认：

• $r=c$ 是半径为 $c$ 的圆柱面。
• $\theta=c$ 是穿过 $z$ 轴的竖直半平面。
• $z=c$ 是水平平面。

柱坐标不是把 $dx\,dy\,dz$ 直接替换成 $dr\,d\theta\,dz$。当角度增加 $d\theta$ 时，实际弧长不是 $d\theta$，而是 $r\,d\theta$。所以一个很小的柱坐标楔块近似有三条边：

于是体积微元是

柱坐标体积微元由径向厚度 $dr$、弧向长度 $r\,d\theta$ 与高度 $dz$ 相乘近似得到，即 $dV\approx r\,dr\,d\theta\,dz$。

例题：带径向密度的圆柱

设实体 $E$ 是圆柱

密度为 $\delta(x,y,z)=z+\sqrt{x^2+y^2}$。求实体质量。

如果遗漏体积因子 $r$，同一道题会变成 $\int(z+r)\,dz\,dr\,d\theta$，这相当于把每个角度小块都当成同样宽。靠近轴和远离轴的扇形块被错误地看成一样大，结果会失真。

球坐标中的体积微元

球坐标适合边界由球面、圆锥面、穿过 $z$ 轴的半平面组成的区域。它的坐标曲面是：

• $\rho=c$ 是以原点为球心的球面。
• $\phi=c$ 是以 $z$ 轴为轴的圆锥面。
• $\theta=c$ 是穿过 $z$ 轴的竖直半平面。

在半径为 $\rho$ 的球面附近，小块的三条边近似是

第三条边带有 $\sin\phi$，因为方位角 $\theta$ 对应的圆周半径不是 $\rho$，而是点到 $z$ 轴的距离 $\rho\sin\phi$。因此球坐标体积微元为

球坐标体积微元来自三条近似边长 $d\rho$、$\rho\,d\phi$、$\rho\sin\phi\,d\theta$，因此 $dV\approx \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。

例题：用球坐标计算球体体积

求半径为 $a$ 的球体

的体积。

例题：球内圆锥区域

设 $E$ 是半径为 $4$ 的球内、圆锥 $\phi=\pi/3$ 上方的区域。这里“上方”表示靠近正 $z$ 轴的一侧。求体积。

这个区域的边界在球坐标中很短：

于是

这个区域位于圆锥上方、靠近正 $z$ 轴的一侧，因此球坐标里是 $0\le\phi\le\pi/3$，$0\le\rho\le 4$。

如果用直角坐标写这个区域，会同时遇到球面和圆锥面两个平方根边界。球坐标把它们分别压缩成 $\rho$ 的上界和 $\phi$ 的上界。

Jacobian 的几何意义

柱坐标和球坐标都是坐标变换。更一般地，设

把参数空间中的点送到真实空间。三重积分换元时，体积元要乘上 Jacobian 行列式的绝对值：

柱坐标的变换是

它的 Jacobian 是

球坐标的变换是

它的 Jacobian 是

Jacobian 表示局部面积或体积的放大倍数。

Jacobian 可以理解成“小方块、小盒子被变换后放大了多少”。在极坐标里，参数平面中的小矩形 $dr\,d\theta$ 变成真实平面中的小扇形，面积近似为 $r\,dr\,d\theta$。柱坐标把这个扇形再向 $z$ 方向拉出高度；球坐标则让经向、纬向、径向三条边一起决定小体积。

选择坐标系的判断

选坐标系不靠记忆题型，而是看边界像哪种坐标曲面。下面的判断通常很快：

看边界像哪种坐标曲面：圆柱适合柱坐标，球体适合球坐标，圆锥对应 $\phi$ 为常数。

有时两个坐标系都能用。例如圆锥 $z=r$ 在柱坐标中是 $z=r$，在球坐标中是 $\phi=\pi/4$。如果区域还被球面截住，球坐标通常更短；如果还被平面 $z=3$ 截住，柱坐标可能更直观。

例题：比较积分限

考虑区域 $E$：

这是抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=4$ 之间、投影落在半径为 $2$ 的圆盘内的实体。用柱坐标时，

体积为

计算得到

这个例子并不是球坐标不能做，而是柱坐标让抛物面 $z=x^2+y^2$ 变成了 $z=r^2$，投影圆盘也变成了 $0\le r\le 2$。

典型计算

下面两个例题把“区域、函数、Jacobian”三件事放在一起检查。

例题：球内径向函数

计算

其中 $B$ 是半径为 $2$、以原点为球心的球体。

例题：由两个曲面围成的柱坐标区域

求由 $z=9-x^2-y^2$ 与 $z=0$ 围成的实体体积。

这个实体绕 $z$ 轴旋转，对应的柱坐标范围是 $0\le r\le 3$，$0\le z\le 9-r^2$。

常见误区

练习

练习 1

把点 $(0,-2,2)$ 写成柱坐标和本章约定下的球坐标。角度取 $0\le\theta<2\pi$，$0\le\phi\le\pi$。

练习 2

用柱坐标写出圆柱

的体积积分，并求体积。

练习 3

用球坐标计算半径为 $5$ 的上半球体积。

练习 4

写出半径为 $2$ 的球内、圆锥 $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ 上方区域的球坐标积分限，并求体积。

练习 5

计算

其中 $E$ 是圆柱 $x^2+y^2\le 1$、$0\le z\le 1$。

练习 6

有同学计算单位球体体积时写成

这一步错在哪里？错误结果和正确结果分别是多少？

接着对 $r$ 积分：

最后乘上角度长度 $2\pi$，得到 $M=34\pi$。

所以 $V=\frac{4}{3}\pi a^3$。