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一般区域上的二重积分与积分次序 | 多变量微积分 I | 自在学

一般区域上的二重积分与积分次序

上一章里，我们把二重积分拆成两次一元积分。只要底面是矩形，这件事几乎没有几何难度：无论固定哪个 $x$ ， $y$ 都从同一个常数走到另一个常数；换成固定 $y$ 也一样。

真正容易出错的地方，从底面变成三角形、曲边区域或带孔区域时才出现。此时积分本身往往不难，难的是把图形准确地翻译成上下限。你必须回答两个问题：切片沿哪个方向走？它从哪条边进入区域，又从哪条边离开？

这一章就解决这件事。我们会把“看图写积分限”整理成一套可以重复使用的方法，再讨论换次序、区域拆分以及面积和质量。等这套方法熟练以后，你会更清楚下一章为什么要为圆形区域换成极坐标。

一般区域 D 上的二重积分示意图，曲面下方只在区域 D 内竖起细柱体，并用小面积 dA 累加。

二重积分只累加底面 $D$ 上的小块；外接矩形里的空白部分不能被算进去。

写积分限时，先别急着看被积函数。被积函数告诉你“每个小块贡献多少”，区域 $D$ 才决定“哪些小块要被加进来”。这两件事要分开处理。

矩形的常数积分限为什么会失效

先回到最熟悉的矩形

R=[a,b]\times[c,d].

在这个区域里，固定任意一个 $x\in[a,b]$ ，竖线与矩形相交的部分永远是

c\le y\le d.

切片虽然在左右移动，底端和顶端的高度却不变。因此两个方向都能使用常数积分限：

\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.

现在把底面换成由坐标轴和直线 $x+y=1$ 围成的三角形。固定 $x=0.1$ 时，竖切片能到达 $y=0.9$ ；固定 $x=0.8$ 时，它只能到达。上边界会随着改变，所以再写一个固定常数作的上限，就会遇到两种坏结果：上限取得太高，会把三角形外的空白算进去；上限取得太低，又会漏掉区域。

这正是“一元的老办法”卡住的地方。一元积分只需描述数轴上的一个区间，端点是两个数；一般区域上的二重积分要描述一整族切片，每一片的端点都可能跟着外层变量移动。

对这个三角形，固定 $x$ 后，竖切片从 $y=0$ 进入，从斜边 $y=1-x$ 离开。因此正确写法是

\int_0^1\int_0^{1-x} f(x,y)\,dy\,dx.

你可以把这个表达式读成两层任务：内层积分处理“当前这一条竖切片”，外层积分再把 $x=0$ 到 $x=1$ 的全部竖切片并排加起来。

外层上下限通常是投影区间的两个端点，所以是常数；内层上下限描述一条正在移动的切片，可以含有外层变量。若先对 $y$ 积分， $y$ 的上下限可以含 $x$ ，却不能仍含有 $y$ 自己。

从投影和切片读出积分限

一般区域的上下限并不需要猜。最稳的办法是先看区域在某条坐标轴上的投影，再看与这条投影垂直的切片。

“投影”听起来有点抽象，其实就是影子。把区域朝 $x$ 轴压扁，它覆盖的那段区间给出 $x$ 的外层范围；把区域朝 $y$ 轴压扁，它覆盖的区间给出 $y$ 的外层范围。

竖切片与 I 型区域

如果从左到右移动一条竖线，每次与区域相交都只得到一整段，而且这段总能写成“从下边界到上边界”，那么区域可以表示为

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.

这种区域常叫 I 型区域。它的结构是：

$[a,b]$ 是 $D$ 在 $x$ 轴上的投影；
固定一个 $x$ 后， $g_1(x)$ 是切片进入区域的下端；
是切片离开区域的上端。

I 型区域 D 由下边界和上边界围成，橙色竖切片表示先对 y 积分。

竖切片沿 $y$ 方向移动，所以内层是 $dy$ ；切片整体沿 $x$ 方向扫过区域，所以外层是 $dx$ 。

对应的迭代积分是

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_a^b\left[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx.

方括号不是必须写，但它能提醒我们：先固定 $x$ ，把一整条竖切片算完，得到一个只依赖 $x$ 的函数，再做外层积分。

横切片与 II 型区域

如果移动一条横线，每次与区域相交都只得到一整段，而且能写成“从左边界到右边界”，那么区域可以表示为

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}.

这种区域常叫 II 型区域。这里：

$[c,d]$ 是 $D$ 在 $y$ 轴上的投影；
固定一个 $y$ 后， $h_1(y)$ 是切片进入区域的左端；

II 型区域 D 由左边界和右边界围成，紫色横切片表示先对 x 积分。

横切片沿 $x$ 方向移动，所以内层是 $dx$ ；切片整体沿 $y$ 方向扫过区域，所以外层是 $dy$ 。

对应的迭代积分是

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_c^d\left[\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\right]dy.

判断积分次序有一个很朴素的办法：看最里面的微分。看到 $dy\,dx$ ，就先固定 $x$ ，沿竖线让 $y$ 从下往上走；看到 $dx\,dy$ ，就先固定 $y$ ，沿横线让从左往右走。

一套不会乱的写限流程

无论边界是直线、抛物线还是别的曲线，都可以按同一个顺序处理。

先画出全部边界，并求出真正参与围成区域的交点。交点不仅标出区域的角，也常常给出投影端点和拆分位置。

决定先画竖切片还是横切片。竖切片对应先 $dy$ 后 $dx$ ；横切片对应先 $dx$ 后 $dy$ 。

同一区域为什么能有两种写法

同一块区域可能既是 I 型，也是 II 型。两种写法不是两个不同问题，而是从两个方向给同一批小面积排队：一种先组成竖条，另一种先组成横条。

来看由

y=x^2

和

y=2x

围成的区域 $D$ 。

由 y=x² 与 y=2x 围成的同一区域，左图用竖切片，右图用横切片。

先用竖切片

先求交点：

x^2=2x

给出 $x=0$ 和 $x=2$ ，相应的交点是 $(0,0)$ 与 $(2,4)$ 。因此区域在 $x$ 轴上的投影是。

固定一个 $0<x<2$ 的 $x$ 。竖切片先碰到抛物线 $y=x^2$ ，再碰到直线 $y=2x$ ，所以

D=\{(x,y):0\le x\le2,\ x^2\le y\le2x\}.

二重积分写成

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^2\int_{x^2}^{2x}f(x,y)\,dy\,dx.

再用横切片

换成横切片时，外层投影要重新看。区域最低到 $y=0$ ，最高到 $y=4$ ，所以 $0\le y\le4$ 。

左右边界还必须改写成 $x$ 关于 $y$ 的函数。直线给出 $x=y/2$ ；抛物线给出 $x=\pm\sqrt y$ 。区域位于第一象限，因此参与围边的是正支。在上，横切片从直线进入，从抛物线离开，于是

D=\{(x,y):0\le y\le4,\ y/2\le x\le\sqrt y\}.

同一个二重积分也可以写成

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt y}f(x,y)\,dx\,dy.

用面积做一次反向核对

如果两套上下限确实描述同一个区域，那么取 $f(x,y)=1$ 时，算出的面积应该一致。竖切片给出

A(D)=\int_0^2(2x-x^2)\,dx =\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =\frac{4}{3}.

横切片给出

A(D)=\int_0^4\left(\sqrt y-\frac y2\right)dy =\left[\frac23y^{3/2}-\frac{y^2}{4}\right]_0^4 =\frac{4}{3}.

面积相同不能单独证明所有细节都对，但如果两个结果不同，就可以肯定至少有一套积分限出了问题。

换切片方向时，边界方程也要跟着改写。竖切片比较“谁在下、谁在上”，横切片比较“谁在左、谁在右”。不能只把原来的两个边界函数原封不动地调换位置。

改变积分次序：先把区域翻译回来

给出一个已经写好的迭代积分时，最危险的动作就是直接交换两个积分号。积分限有从属关系：内层限可以依赖外层变量，外层限必须覆盖整块区域的投影。只换符号而不重写这套关系，通常会把区域也换掉。

真正的换序要走一条完整的路：

暂时忽略被积函数，只把原积分限翻译成点集 $D$ 。例如 $0\le x\le1$ 、 $x\le y\le1$ 表示单位正方形里直线上方的三角形。

例题：原次序没有初等原函数

计算

I=\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx.

如果照原次序做，内层需要求 $e^{y^2}$ 关于 $y$ 的原函数，而这个原函数不能用初等函数表示。问题并不是二重积分本身算不了，只是当前切片方向把难积分放在了里面。

从原限读出区域：

0\le x\le1,\qquad x\le y\le1.

这是由 $x=0$ 、和围成的三角形。

这个例子揭示了换序最实际的用途：同一块区域不变，换一种切片排队方式，就可能把“没有初等原函数的内层积分”变成一次乘长度，再留下一个标准的一元换元积分。

什么时候必须拆分区域

I 型或 II 型的关键并不只是边界能写成函数，而是每条切片都能用同一套入口和出口描述。下面两种情况会破坏这一点。

边界公式中途改变

考虑帐篷形区域

D=\{(x,y):0\le x\le2,\ 0\le y\le\min(x,2-x)\}.

帐篷形三角区域在 x=1 处分成左右两半，竖切片的上边界在此改变。

从左向右移动竖切片时，底边一直是 $y=0$ ，但上端先碰到 $y=x$ ，过了 $x=1$ 后改为碰到 $y=2-x$ 。单个上边界公式无法覆盖整个，所以必须在拆开：

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx +\int_1^2\int_0^{2-x} f(x,y)\,dy\,dx.

换成横切片后，情况反而简单。区域在 $y$ 轴上的投影是 $0\le y\le1$ ，每条横切片始终从左边 $x=y$ 走到右边 $x=2-y$ ，因此可以一次写完：

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^1\int_y^{2-y} f(x,y)\,dx\,dy.

取 $f=1$ ，横切片立即给出面积

A(D)=\int_0^1(2-2y)\,dy=1.

若坚持竖切片，两块面积分别是 $1/2$ ，相加仍是 $1$ 。

一条切片断成两段

还有一种更隐蔽的情况：入口和出口没有简单地换边界，而是一条切片会穿过区域、离开、又重新进入。带孔区域就是典型例子。

例如圆环

1\le x^2+y^2\le4.

当 $|x|<1$ 时，竖线会先穿过下半环，越过中间的孔，再穿过上半环。此时不能把最下面和最上面的端点直接写成一个积分，因为那样会把孔也算进去。用竖切片完整描述它，需要写成

\begin{aligned} \iint_{D} f d A = & \int_{- 2}^{- 1} \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} f d y d x \\ + \int_{- 1}^{1} \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{- \sqrt{1 - x^{2}}} f d y d x \\ + \int_{- 1}^{1} \int_{\sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} f d y d x \\ + \int_{1}^{2} \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} f d y d \end{aligned}

这里为了让公式紧凑，写了 $f=f(x,y)$ 。四项看着很长，却准确反映了切片在不同 $x$ 范围内的连通情况。下一章改用极坐标后，同一个圆环只需“半径从 $1$ 到 $2$ ，角度转一整圈”就能描述，这正是换坐标的必要性从哪里冒出来的。

拆分不是计算失败，而是忠实记录区域结构。先试两种切片方向：一种方向要拆成三四块的区域，换个方向可能一块就够；若两个方向都麻烦，才考虑换坐标。

Fubini 定理到底保证了什么

前面一直在用“两个次序算的是同一个总量”这件事，但它并非在任何情况下都能无条件使用。

对本课程里的常规问题，一个足够好用的条件是： $D$ 是闭且有界的区域，边界由有限段连续光滑曲线组成， $f$ 在 $D$ 上连续。若 $D$ 同时能写成 I 型和 II 型，那么

\begin{aligned} \iint_D f(x,y)\,dA &=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx\\ &=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy. \end{aligned}

这就是我们在一般区域上使用的 Fubini 定理。它保证两种切片方式确实在累加同一个二维总量。若 $f\ge0$ ，这个结论还能延伸到某些不连续或无界情形，结果也可能是 $+\infty$ 。对于有正有负、又带无界区域或奇点的反常积分，更稳妥的条件是先确认绝对积分有限：

\iint_D |f(x,y)|\,dA<\infty.

如果只有条件收敛，换序可能改变结果，甚至使某个迭代积分不存在。初学阶段的连续函数和有界区域不会踩到这个坑，但知道条件在哪里，能避免把“可以换序”误记成纯粹的符号规则。

还要分清两件事：Fubini 定理负责保证“同一区域上的两个合法迭代积分相等”；它不会替你判断新上下限有没有写对。区域一旦在换序时被画错，定理也救不了。

面积、平均值与薄片质量

二重积分的核心动作始终是“把小块贡献加起来”。换一个被积函数，改变的只是每个小块贡献什么。

区域 D 上的密度分布，以及用二重积分计算面积、平均密度和质量的关系。

面积与平均值

如果每个小面积 $dA$ 都按权重 $1$ 计入，总量就是区域面积：

A(D)=\iint_D1\,dA.

如果 $f(x,y)$ 表示温度、高度或别的分布量，它在 $D$ 上的平均值是

f_{\mathrm{avg}} =\frac{1}{A(D)}\iint_D f(x,y)\,dA.

这个公式与“总分除以人数”是同一思路：积分先给出整块区域上的总量，再除以区域大小。

质量、矩与质心

若一块薄片在 $(x,y)$ 处的面密度是 $\rho(x,y)$ ，小块质量近似为 $\rho(x,y)dA$ ，所以总质量是

m=\iint_D\rho(x,y)\,dA.

为了找质量的平衡位置，还要计算两个矩：

M_y=\iint_D x\rho(x,y)\,dA,

M_x=\iint_D y\rho(x,y)\,dA.

非均匀密度薄片中的面积微元到两坐标轴的距离，以及质量、对 y 轴的矩、对 x 轴的矩和质心坐标公式。

小块到 $y$ 轴的距离是 $x$ ，到 $x$ 轴的距离是 $y$ ；先用距离给质量加权得到矩，再除以总质量得到质心。

这里下标表示“绕哪条轴取矩”。到 $y$ 轴的距离是 $x$ ，所以 $M_y$ 的权重是 $x$ ；到 $x$ 轴的距离是 $y$ ，所以的权重是。最后把矩除以总质量，得到质心：

\bar x=\frac{M_y}{m},\qquad \bar y=\frac{M_x}{m}.

例题：密度向右增大的三角形薄片

设薄片占据区域

D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x\},

面密度为

\rho(x,y)=1+x.

求薄片的质量和质心。

区域是坐标轴与 $x+y=1$ 围成的三角形。用竖切片时， $x$ 从 $0$ 到 $1$ ， $y$ 从到。

质心不是单纯的几何中心。只有密度均匀时，面积平均位置才等于质量平均位置。密度变化后，积分中必须保留 $\rho(x,y)$ ，不能只看区域形状猜答案。

常见错误的现场排查

把外层投影当成某条边的定义域

外层范围要覆盖整块区域在坐标轴上的影子，不是随便挑一条边的定义域。求完交点后，沿坐标轴看区域最左、最右或最低、最高的位置，才是投影端点。

内层积分限含有内层变量

若写成先 $dy$ ，内层上下限中还出现 $y$ ，说明切片的端点并没有真正解出来。边界方程要整理成 $y$ 关于 $x$ 的表达式。先 $dx$ 时则要解成 $x$ 关于 $y$ 的表达式。

忘记平方根的分支

从 $y=x^2$ 解出 $x$ 时会得到 $x=\pm\sqrt y$ 。到底取正支、负支还是两支都要，必须回到区域图判断。代数方程给出候选边界，图形决定哪一支真正围住区域。

换序时只交换微分

把 $dy\,dx$ 改成 $dx\,dy$ 后，原来的内外限几乎从来不能原样保留。先把原积分还原成区域，再重新投影、切片和写限。

把断开的切片连过空白

遇到孔洞或凹进去的区域时，一条直线可能与区域相交成两段。内层积分必须对这两段分别累加，否则中间不属于 $D$ 的部分也会被算进去。

练习

练习：同一三角形的两种次序

三角形 $D$ 的顶点是 $(0,0)$ 、 $(2,0)$ 、 $(2,3)$ 。分别用竖切片和横切片写出

\iint_D f(x,y)\,dA.

练习：换序后完成计算

计算

I=\int_0^1\int_{\sqrt x}^{1}\sin(y^3)\,dy\,dx.

练习：判断拆分位置

区域 $D$ 由

0\le y\le1,\qquad y\le x\le2-y

给出。把它改写成先 $dy$ 后 $dx$ 的形式。

练习：曲边区域上的质量

区域

D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x^2\le y\le x\}

上的面密度为 $\rho(x,y)=x+y$ 。求薄片质量。

练习：圆环为什么逼着我们换坐标

设

D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le4\}.

说明为什么用单个先 $dy$ 后 $dx$ 的迭代积分不能完整描述 $D$ ，并写出一个正确的拆分方案。

从弯曲积分限走向极坐标

到这里，矩形坐标中的核心方法已经完整了：外层限来自投影，内层限来自切片的入口和出口；换次序时先还原区域；边界换规则或切片断开时就拆分。

这套方法能处理任何由有限段曲线围成的普通区域，但“能写”不等于“写得顺手”。圆盘要出现平方根，圆环还要为了孔洞拆成多项。问题已经不在积分技巧，而在坐标网格与区域形状不合拍。

下一章会把直角网格换成由射线和圆弧组成的极坐标网格。到那时，今天学的“先看投影，再沿内层方向找进入点和离开点”仍然有效，只是投影轴变成角度，切片从直线段变成沿射线的一段半径。

y=0.2

0\le x\le2

x

.

\begin{aligned} \iint_D f\,dA ={}&\int_{-2}^{-1}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f\,dy\,dx\\ &+\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{-\sqrt{1-x^2}}f\,dy\,dx\\ &+\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f\,dy\,dx\\ &+\int_{1}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f\,dy\,dx. \end{aligned}

M_x

y=\sqrt x

0

)

(0,0)