一般区域上的二重积分与积分次序 | 多变量微积分 I | 自在学一般区域上的二重积分与积分次序
上一章把二重积分放在矩形区域上理解：先把矩形切成小块，再把每个小块上的量加起来。真实问题里的区域很少刚好是矩形。它可能被两条曲线夹住，可能是一块三角形薄片，也可能要切成几块才容易写清楚。
本章的核心问题是：给定一个平面区域 D，怎样把它翻译成积分上下限？一旦区域写对，二重积分的计算才真正开始。
一般区域上的二重积分只在区域 D 上累加，小面积 dA 不能跑到外接矩形的空白部分。
写一般区域上的二重积分时，最先决定的不是先算哪个积分，而是切片从哪里进入、在哪里离开区域。积分上下限只是这件事的符号版本。
从矩形到一般区域
在矩形区域 R 上，积分限天然来自四条水平或竖直边：
=
[a,b]×
[c,d]
∬Rf(x,y)dA=∫ab∫cdf(x,y)dydx 一般区域 D 没有这么固定的上下边界。我们常用一个外接矩形包住它，再让被积函数在 D 外面取 0。这个想法能说明二重积分存在的直观来源，但真正计算时，更常见的做法是直接描述区域本身。
如果每一条竖线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用竖切片。如果每一条横线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用横切片。
这两个判断对应两类区域：Type I 和 Type II。名字不重要，切片方式才重要。
竖切片：Type I 区域
D={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)} 意思是：先让 x 从左端 a 走到右端 b；对每一个固定的 x，竖直方向从下边界 y=g1(x) 走到上边界 y=g2(x)。
竖切片的内层变量是 y，所以积分次序写成先 dy 后 dx。
∬Df(x,y)dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y)dydx 这里的内层积分把 x 当成常数。外层积分再让这些竖切片从左到右扫过整个区域。
内层上下限可以含有外层变量，但不能含有内层变量。比如先 dy 后 dx 时，y 的上下限可以含有 x，但不能含有 y 自己。
横切片：Type II 区域
D={(x,y):c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)} 意思是：先让 y 从下端 c 走到上端 d；对每一个固定的 y，水平方向从左边界 x=h1(y) 走到右边界 x=h2(y)。
横切片的内层变量是 x，所以积分次序写成先 dx 后 dy。
∬Df(x,y)dA=∫cd∫h1(y)h2(y)f(x,y)dxdy 同一个区域有时既是 Type I，也是 Type II。这时两个积分表示同一个总量，只是切片方向不同。
同一区域的两种写法
先画出所有边界曲线，并标出交点。交点通常给出外层变量的端点，也决定是否需要拆分。
试着画一条竖切片。若它进入区域一次、离开区域一次，就把下边界写成 y=g1(x)，上边界写成 y=g2(x)。
再画一条横切片。若它进入区域一次、离开区域一次，就把左边界写成 x=h1(y)，右边界写成 x=h。
比较两种写法。若被积函数在某个次序下更容易积分，就优先使用那个次序。
改变积分次序时，区域没有变，变的是切片方向和边界函数的表达方式。
例题：由两条曲线围成的区域
设 D 是由 y=x2 和 y=2x 围成的区域。写出 ∬Df(x,y)dA 的两种迭代积分形式。
先找交点。由 x2=2x 得到 x=0 或 x=2，对应的 y 分别是 0 和 4。
用竖切片看区域。对 0≤x≤2，下边界是 y=x2，上边界是 ，所以
用横切片看区域。对 0≤y≤4，左边界来自 y=2x，所以 x=y；右边界来自 ，因为区域在第一象限，所以 。
两个积分的值相同。若取 f(x,y)=1，它们都计算区域面积：
A=∫判断左右边界时，不要只看曲线在图上的上下位置。横切片需要比较的是同一高度下谁在左、谁在右；竖切片才比较谁在下、谁在上。
改变积分次序
改变积分次序不是把两个积分号机械交换。它包含三件事：读懂原积分表示的区域，重新用另一种切片描述区域，再把被积函数放进新的积分限中。
对连续函数，Fubini 定理保证只要两个迭代积分描述的是同一个区域，它们给出同一个二重积分。计算上，换序常用来避开不容易求原函数的内层积分。
例题：换序后才能算
∫01∫x1ey2dydx 原积分表示的区域是
0≤x≤1,x≤y≤1这是一块在单位正方形内、直线 y=x 上方的三角形区域。
改用横切片。对 0≤y≤1，x 从左边界 0 走到右边界 y，所以区域也可以写成
换序后得到
∫01∫0y先完成内层积分，再对 y 积分：
∫01ye最常见的错误是看到 ∫01∫x1 就直接写成 ∫x1∫01。这样做通常会把区域改掉。换序前必须画出或写出原来的 D。
什么时候必须拆分区域
有些区域用一种切片方向看时，切片的入口或出口会换边界。此时单个 Type I 或 Type II 表达式写不完整，必须把区域拆成几块。
当同一种切片扫过区域时边界函数发生变化，就把区域拆成几块分别积分。
D={(x,y):0≤x≤2, 0≤y≤min(x,2−x)} 为例。竖切片的上边界在 x=1 处从 y=x 换成 y=2−x，所以写成一个竖切片积分时要拆成两块：
∬Df(x,y)dA=∫01∫0xf(x,y)dydx+∫12∫02−xf(x,y)dydx ∬Df(x,y)dA=∫01∫y2−yf(x,y)dxdy 例题：用拆分计算面积
面积对应 f(x,y)=1。按竖切片拆分：
A=∫01∫0x1dydx+∫12∫02−x1dydx分别算两块面积：
∫01xdx=因此
A=1若用横切片，直接算 ∫01(2−2y，也得到 。
拆分不是失败，而是区域描述的一部分。好的做法是先试两种切片方向：有时一种方向要拆，另一种方向不用拆。
面积、平均值与质量
二重积分的应用本质上都是“在区域上累加”。只是被积函数不同，累加出来的量不同。
同一个区域 D 上，取 f=1 得面积，取一般函数得总量，取密度函数得质量。
A(D)=∬D1dA favg=A(D)1∬Df(x,y)dA 如果薄片在点 (x,y) 处的面密度是 ρ(x,y)，薄片质量是
m=∬Dρ(x,y)dA 例题：三角形区域上的平均值
求 f(x,y)=x+2y 在三角形区域
D={(x,y):0≤x≤2, 0≤y≤x} 先算区域面积：
A=∫02∫0x1dydx=∫02xdx=2再算函数在区域上的总量：
∬D(x+2y)dA=内层积分为
∫0x(x+2y)dy=平均值等于总量除以面积：
favg=216/3
质量与质心
如果 D 是一块薄片的平面形状，ρ(x,y) 是面密度，那么质心坐标由“坐标加权后的平均位置”给出。
质心不是几何中心的另一个名字；密度不均匀时，它会向更重的区域偏移。
m=∬Dρ(x,y)dA My=∬Dxρ(x,y)dA Mx=∬Dyρ(x,y)dA xˉ=mMy,yˉ=mMx D={(x,y):0≤x≤1, 0≤y≤1−x} 薄片密度为 ρ(x,y)=1+x。求质量和质心。
质量为
m=∫01∫01−x(1+x)dydx=∫01(1+x)(1−x)dx=32对 y 轴的矩为
My对 x 轴的矩为
Mx=∫于是
xˉ=2/31/4
常见误区
不要把边界曲线的方程直接塞进上下限。比如曲线 y=x2 在横切片里常常要改写成 x=y。切片方向变了，边界函数的形式也要跟着变。
不要忽略交点。很多区域是否需要拆分，取决于交点把投影区间切成了几段。先求交点，后写积分限，顺序不能反过来。
画图不要求精美，但必须表达三件事：区域在哪里、切片朝哪个方向、切片进入和离开区域的边界分别是什么。
练习
练习：写出两种积分次序
区域 D 是三角形，顶点为 (0,0)、(2,0)、(2,3)。写出 ∬Df(x,y)dA 的 Type I 和 Type II 形式。
Type I 写法可取
∫02∫03x/2f(x,y)dydxType II 写法可取
∫03∫2y/32f(x,y)dx竖切片从 y=0 到斜边 y=3x/2；横切片从斜边 x=2y/3 到竖线 x=2。
练习：改变积分次序
把下面的积分改写成先 dx 后 dy 的形式，并计算它：
∫01∫x1ey2dydx 区域是 0≤x≤1, x≤y≤1。改用横切片后是 0≤y≤1, 0≤x≤y，所以
∫01∫x1练习：判断是否需要拆分
区域 D 由 0≤y≤1 和 y≤x≤2−y 给出。把它写成先 dy 后 dx 的形式。
先画横切片可知区域是一块顶点为 (0,0)、(2,0)、(1,1) 的三角形。若改用竖切片，上边界在 x=1 处改变，所以需要拆分：
∬Df(x,y)dA=∫01∫0x练习：平均值
求 f(x,y)=xy 在区域
D={(x,y):0≤x≤1, 0≤y≤2x} 区域面积为
A=∫01∫02x1dydx=1总量为
∫01∫02xxydydx所以平均值是
favg=21练习：均匀薄片的质心
设 D={(x,y):0≤x≤2, 0≤y≤2−x}，密度为常数 1。求质心。
质量就是面积：
m=∫02(2−x)dx=2对 y 轴的矩为
My=∫02x(2−x)dx=34对 x 轴的矩为
Mx=∫02∫0因此
xˉ=32,yˉ=
2
(
y
)
y
=
2x
∬Df(x,y)dA=∫02∫x22xf(x,y)dydx /2
∬Df(x,y)dA=∫04∫y/2yf(x,y)dxdy
0
2
(
2
x
−
x2)dx=
34
0≤y≤1,0≤x≤y
ey2
d
x
d
y
这时内层对 x 积分，ey2 被看成常数。
y2
d
y
=
21∫01eudu=
2e−1
2
1
,
∫12
(
2
−
x)dx=
21
)
d
y
∫02
∫0x
(
x
+
2y)dydx
x2
+
x2=
2x2
∫022x2dx=316 =
38
=
∫01∫01−xx(1+
x)dydx=
∫01x(1+
x)(1−
x)dx=
41
0
1
∫01−x
y
(
1
+
x)dydx=
245
=
83,yˉ=
2/35/24=
165
因为密度随 x 增大而增大，xˉ=3/8 比均匀三角形的 1/3 略靠右。
d
y
ey2
d
y
d
x
=
∫01∫0yey2dxdy=
∫01yey2dy=
2e−1
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
+
∫12∫02−xf(x,y)dydx
=
∫012x3dx=
21
2
−
x
y
d
y
d
x
=
34
32
