偏导数：多元函数没有“唯一斜率”

上一章讨论多变量极限与连续性时，我们反复强调一件事：从 $(x,y)$ 靠近一点，可以走无数条路径。现在要研究“函数在一点变化得多快”，同一个麻烦又回来了，而且这次躲不过去。

一元函数只有一个输入。站在数轴上的某一点，你能做的局部移动无非是让 $x$ 增加或减少，所以导数可以用一个数概括那里的斜率。可是在平面上，向东、向北、向东北，甚至沿一条弯曲路径出发，都是不同的移动方式。同一张曲面在这些方向上可能一边上升、一边下降，还可能在另一个方向上暂时不升不降。于是，“这个点的斜率是多少”已经不是一个完整的问题——你得先说清楚往哪儿走。

偏导数的办法很克制：先不急着处理所有方向，一次只放开一个坐标。研究 $x$ 方向时，把 $y$ 钉住；研究 $y$ 方向时，把 $x$ 钉住。这样就把一张曲面切成了一条曲线，也把一个多变量问题暂时退回了熟悉的一元微积分。

偏导数没有给曲面安排一个“总斜率”，而是先记录两个坐标方向上的截线斜率。

把多元问题退回一元

设曲面由

给出，我们关心输入点 $(a,b)$。

如果把 $y$ 固定为 $b$，只让 $x$ 变化，就得到一元函数

$g'(a)$ 是这条一元曲线在 $x=a$ 处的斜率。我们把它叫作 $f$ 在 $(a,b)$ 处关于 $x$ 的偏导数：

反过来，把 $x$ 固定为 $a$，只让 $y$ 变化，得到

于是

这里故意用了两个不同的步长字母 $h$ 和 $k$。求 $f_x$ 时，输入点从 $(a,b)$ 移到 $(a+h,b)$；求 时，输入点从 移到 。两次差商只沿两条坐标线取点。

记号到底在说什么

下面几种写法通常表示同一件事：

符号 $\partial$ 提醒我们：函数还有别的输入，只是当前只让 $x$ 动。它不是装饰版的 $d$。如果后来 $x=x(t)$、$y=y(t)$ 都随着 $$ 改变，那么 会同时收到两个变量的影响，那是链式法则要处理的问题。

例题：从定义亲手算一次

设

用差商定义求 $f_x(1,2)$ 和 $f_y(1,2)$。

定义告诉我们偏导数究竟是什么；实际计算时通常不必每次重做差商。后面会把这一步压缩成更熟悉的求导规则。

几何上，它是竖直截线的切线斜率

把曲面 $z=f(x,y)$ 想成一座起伏的地形。固定 $y=b$，相当于拿竖直平面 $y=b$ 去切这座地形。平面与曲面的交线是

它是一条普通的一元曲线。这条截线在

处的切线斜率就是 $f_x(a,b)$。

固定 $x=a$ 时则用另一个竖直平面去切，交线 $z=f(a,y)$ 在 $P$ 点的斜率是 $f_y(a,b)$。不要把这两种竖直截线和上一章的等高线混在一起：等高线来自水平平面 ，它描述“哪里高度相同”；偏导截线来自竖直平面，它描述“沿一个坐标方向怎样升降”。

例题：一个方向水平，另一个方向上升

看距离函数

在原点之外，链式法则给出

站在 $(0,2)$ 时，

这不难想象。固定 $y=2$ 左右移动时，你正处在截线 $\sqrt{x^2+4}$ 的最低点，瞬时斜率为 $0$；固定 向上移动时，截线是 ，在 处斜率为 。

可是到了原点，情况变了：

不存在，$r_y(0,0)$ 也一样。函数在原点明明连续，偏导数却不存在，因为圆锥尖端的两侧斜率接不上。连续只保证高度没有跳变，并不保证截线有切线。

只有等高线时，怎样读出偏导的正负

真实问题不总会给出曲面公式。有时你只有地形图、气压图或温度图。此时仍然可以从等高线判断偏导数。

在点 $(a,b)$ 判断 $f_x(a,b)$，就从这个点向右迈一小步：等高线标值变大，$f_x>0$；标值变小，；若向右的局部移动几乎不改变高度， 接近 。判断 时，把“向右”换成“向上”。

等高线的疏密还给出绝对值的线索。若相邻等高线代表相同的高度差，那么同样走 $0.1$ 个水平单位，跨过的线越多，高度变化就越大，对应偏导数的绝对值通常越大。

计算时，只让目标变量动

差商定义把概念钉牢之后，计算就可以退回一元求导：对 $x$ 求偏导时，使用一元微积分的幂函数、乘积、商与链式法则，只把所有不含 $x$ 的量看成常数；对 $y$ 求偏导时反过来。

第一行最能看出“常数”和“零”的区别。求 $x$ 偏导时，$y$ 不动，但它仍然作为系数留在答案里；只有整个一项都不含 $x$ 时，它对 $x$ 的偏导才是 $0$。

例题：乘积与链式法则一起出现

设

求 $f_x$ 和 $f_y$。

输入不一定叫 $x$ 和 $y$

偏导数关心的是“哪些量被当作变量”，而不是字母长什么样。理想气体模型写成

其中 $T$ 和 $V$ 是变量，$n$ 与 $R$ 在这个模型中固定。于是

没有 $\partial P/\partial R$，不是因为不能对字母 $R$ 求导，而是因为当前模型已经把 $R$ 指定为常数。若研究对象换了，变量和常数的角色也可以换。

三个或更多输入也没有新规则。例如

有

每次仍然只放开一个变量。

数值之外，还要读出单位和物理含义

偏导数是“输出变化量除以某一个输入变化量”，所以单位不能丢。设 $x,y$ 用千米表示，温度场 $T(x,y)$ 用摄氏度表示，那么

的单位都是“摄氏度每千米”。它们不是温度，而是沿指定方向的温度变化率。

看一个具体模型：

于是

在 $(3,2)$ 处，

第一项表示：暂时保持南北位置不变，向东移动一小段，温度大约每千米升高 $2^\circ\mathrm C$。第二项表示：保持东西位置不变，向北移动一小段，温度大约每千米降低 $1^\circ\mathrm C$。

如果只向东走 $0.05$ 千米，局部温度变化约为

这里的“约”很重要。偏导数是瞬时变化率，乘上一个很小的位移才给出局部变化的近似；走得很远以后，斜率本身可能已经变了。

同样，$\partial P/\partial T$ 的单位是“压强每温度”，$\partial P/\partial V$ 的单位是“压强每体积”。两个偏导数即使数值碰巧相同，也未必能直接比较，因为单位可能不同。

两个偏导都为零，也未必站在山顶或谷底

一元函数在内部极值点常有 $f'(a)=0$。到了二元函数，我们自然会寻找

但这两条等式只说两条坐标截线都暂时水平，还不能保证这个点是最高或最低。

例如

它的偏导数是

所以原点处两个偏导都为 $0$。可沿 $x$ 轴走，

沿 $y$ 轴走，

原点在一个截面上像山顶，在另一个截面上却像谷底。这种点叫鞍点。它提醒我们：一阶偏导等于零只是寻找极值的候选条件，不是结论。

二阶偏导：斜率本身还会怎样变化

$f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 本身仍是二元函数，所以可以继续求偏导。两个一阶偏导会产生四个二阶偏导：

本课把 $f_{xy}$ 读作“先对 $x$ 求偏导，再对 $y$ 求偏导”。分式记号中最靠近 $f$ 的 $\partial x$ 先执行，正好与这个顺序一致。为了不被下标绕晕，计算时写出中间函数 $f_x$ 或 最稳妥。

$f_{xx}$ 描述 $x$ 方向斜率怎样随 $x$ 改变。若 $f_{xx}>0$，固定 得到的截线在局部向上弯；若 ，截线在局部向下弯。 对 方向做同样的记录。

$f_{xy}$ 的意思稍微绕一点：先得到“向东的斜率” $f_x$，再问这个向东斜率随着向北移动怎样变化。若 $f_{xy}>0$，说明向北移动时，向东的坡度在增大。它的单位是“输出单位除以 的单位，再除以 的单位”。

例题：把四个二阶偏导全部算清楚

设

混合偏导能交换顺序，但要看条件

对多项式、指数函数、三角函数以及它们在定义域内部的常规组合，我们经常算到

这条规律不是单靠符号就能保证。一个常用而稳妥的充分条件是：如果两个混合偏导 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在点 $(a,b)$ 的某个邻域内存在并且连续，那么

这个结论叫 Clairaut 定理，也常叫 Schwarz 定理。条件中的“邻域内连续”是核心，不是可有可无的技术尾巴。

可以把它想成在点附近画一个很小的坐标矩形。先比较左右两边的 $x$ 方向变化，再沿 $y$ 比较；或者先比较上下两边的 $y$ 方向变化，再沿 $x$ 比较。两种记账方式都在计算同一个四角总差。当二阶变化在小矩形里连续，没有突然跳动时，矩形缩到一点，两种平均变化率就会落到同一个数上。

条件失效时，顺序真的可能不同

定义

先固定 $y$，从定义可得

因此

反过来，先固定 $x$，有

所以

两个混合偏导都存在，却不相等。矛盾并没有出现：这个函数在原点附近不满足混合偏导连续的条件，所以不能套用 Clairaut 定理。

偏导存在，不等于连续，更不等于可微

现在把上一章“必须检查所有路径”的经验接回来。$f_x(a,b)$ 和 $f_y(a,b)$ 只检查了通过 $(a,b)$ 的两条坐标线；连续性却要求从所有路径靠近时，函数值都趋向 。两条线的信息当然不够覆盖整个平面。

定义

沿两条坐标轴，函数值都恒为 $0$，所以

可是沿 $y=x$ 靠近原点时，

它不趋于 $f(0,0)=0$，因此函数在原点不连续。

连续再加两个偏导，仍然不一定可微

也许你会想：上一个反例只是输在不连续。如果再补上连续性，总该可微了吧？仍然不够。

定义

因为

所以 $h$ 在原点连续。由定义还能算出

如果它在原点可微，那么一阶线性部分应当是 $x$。但沿 $y=x$ 有

线性预测与真实值的误差是 $-x/2$。把误差除以到原点的距离，得到

它没有趋于 $0$，所以 $h$ 在原点不可微。

这几种性质的关系可以记成：

但反方向一般不成立。一个实用的充分条件是：若一阶偏导在点的某个邻域内存在，并且在该点附近连续，那么函数在该点可微。下一章会把“可微”解释成曲面能够被一个切平面准确地做局部一阶近似。

一套不容易混乱的解题流程

遇到偏导数问题时，可以按下面的顺序检查。

练习

练习一：基本计算与点值

设

求 $f_x$、$f_y$，并计算 $f_x(1,-1)$、。

练习二：乘积与指数函数

设

求 $g_x$ 和 $g_y$。

练习三：从等高线描述判断符号

某山坡高度为 $H(x,y)$，$x$ 表示向东距离，$y$ 表示向北距离。某点附近向东走高度升高，向北走高度降低；向北方向的等高线比向东方向更密。判断 $H_x$、$H_y$ 的符号，并比较两个偏导数绝对值的大小。

练习四：单位与解释

一种材料的长度写成 $L(T,p)$，$T$ 的单位是摄氏度，$p$ 的单位是千帕，$L$ 的单位是毫米。在某状态下测得

写出两个偏导数的单位，并解释它们的含义。

练习五：二阶偏导

设

求 $p_{xy}$。

练习六：用交换顺序检查结果

设

分别求 $q_{xy}$ 和 $q_{yx}$，并说明为什么应当相等。

练习七：偏导存在但不连续

设

判断 $r_x(0,0)$、$r_y(0,0)$ 是否存在，并判断函数在原点是否连续。

练习八：两个偏导为零能否推出极值

设

求 $s_x(0,0)$、$s_y(0,0)$，并判断原点是不是局部极大值点或局部极小值点。

从两条截线走向一个切平面

这一章先把复杂问题拆开：$f_x$ 记录 $x$ 方向的截线斜率，$f_y$ 记录 $y$ 方向的截线斜率；二阶偏导继续记录这些斜率怎样变化。它们把多变量函数在一点附近的局部信息一块块收集起来。

但我们也看到了边界：两条坐标截线正常，不代表函数从所有方向看都正常；两个偏导存在，不保证连续或可微；两个偏导都为零，也不保证极值。

下一章要做的正是把这些碎片重新合起来。如果函数在一点可微，那么 $f_x(a,b)$ 与 $f_y(a,b)$ 会共同确定一个切平面，并给出

到那时，“多元函数没有唯一斜率”不会再是障碍：我们不再强行找一个数，而是用一个平面同时容纳两个独立方向上的一阶变化。

明确这次谁在动。求 $f_x$ 就固定其余变量，只对 $x$ 使用一元求导规则；求 $f_y$ 就固定其余变量，只对 $y$ 求导。

求 $y$ 偏导时把 $x$ 固定：

代入 $(1,-1)$：

因此该点沿 $x$ 正方向的局部斜率为 $-2$，沿 $y$ 正方向的局部斜率为 $0$。

第二项中 $y^2$ 是固定系数，所以

求 $y$ 偏导时，$x$ 与 $e^x$ 都固定：

相邻等高线代表相同高度差，而向北方向更密，说明相同水平距离内向北跨过的高度差更大，因此

两个数不能只看大小直接比较，因为它们除以的是不同输入单位。