三重积分：空间区域中的累积 | 多变量微积分 I | 自在学

三重积分：把一整个空间里的量加起来

上一章我们把平面区域切成极小的扇形片，用二重积分累加面积、质量和函数值。现在空间多出一个方向，老画面就不够用了：如果房间里每一点都有自己的温度，温度不是只铺在地板上，也不是悬在某一张曲面上，而是充满了整个房间。我们不能再靠“底面积乘曲面高度”描述它。

三重积分补上的正是这个缺口。它把空间实体切成许多很小的盒子，先算每个小盒子携带了多少量，再把所有小盒子加起来。二重积分里的小片面积 $\Delta A$ ，到这里升级成小体积 $\Delta V$ ；“先切小、再求和、最后取极限”的办法没有变。

三重积分把空间区域切成许多小体积并累加

每个小盒子的贡献约等于“取样点处的函数值乘小盒子体积”。网格越细，这个近似越贴近真实累积。

从二维小片到三维小盒子

先从最规整的长方体区域开始：

B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h].

沿 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个方向分别切分，空间里就会出现许多小长方体。第 $(i,j,k)$ 个小长方体的体积是

\Delta V_{ijk}=\Delta x_i\,\Delta y_j\,\Delta z_k.

在这个小长方体里选一个取样点 $P_{ijk}^*=(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)$ 。只要盒子足够小，连续函数在盒子里的变化就很有限，于是这一小块的累积量可以近似写成

f(P_{ijk}^*)\,\Delta V_{ijk}.

把所有小块的贡献加起来，得到三重黎曼和：

\sum_i\sum_j\sum_k f(P_{ijk}^*)\,\Delta V_{ijk}.

继续细分，让网格中最长的小盒子对角线趋近于 $0$ 。如果这些和趋近于同一个数，而且不依赖我们怎样选取样点，这个极限就是三重积分：

\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \lim_{\lVert P\rVert\to 0} \sum_i\sum_j\sum_k f(P_{ijk}^*)\,\Delta V_{ijk}.

这里用网格最大直径 $\lVert P\rVert$ 控制“每个方向都在变细”。只要求小盒子体积趋于 $0$ 还不够，因为盒子可能在两个方向上很薄，却在第三个方向上仍然很长。

对于弯曲区域 $E$ ，边界附近的小盒子不会恰好贴合实体。处理办法仍然是不断细分：边界处没有贴合的薄层会越来越薄，最后不影响极限。于是我们把一般空间区域上的积分写成

\iiint_E f(x,y,z)\,dV.

三重积分先回答的是“累加了多少”，不自动等于体积。被积函数恒为 $1$ 时，每个小盒子的贡献就是 $\Delta V$ ，积分才等于体积；被积函数是质量密度时，每个小盒子的贡献近似是质量；被积函数是温度时，积分的单位是“温度乘体积”，还要除以总体积才得到平均温度。

三重积分保留了普通积分熟悉的运算规则。比如

\iiint_E(af+bg)\,dV = a\iiint_E f\,dV+b\iiint_E g\,dV.

如果 $E_1$ 与 $E_2$ 的内部不重叠，而且它们拼成 $E$ ，那么

\iiint_E f\,dV = \iiint_{E_1}f\,dV+\iiint_{E_2}f\,dV.

后面遇到必须拆区域的换序题，靠的就是这条可加性。

在交互图里把三个方向的分割数调大，可以看到 $\Delta V$ 变小、盒子数量增多。对非常数密度使用右端点取样时，近似值会逐步靠近精确质量；这正是“有限求和走向积分”的过程。

三次一元积分：先走线，再铺面，最后叠成实体

定义告诉我们三重积分是什么，却不适合每道题都从极限算起。真正计算时，我们把三个方向的累加拆成三次一元积分。

若 $f$ 在长方体 $B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h]$ 上连续，那么

\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \int_a^b\int_c^d\int_e^h f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

这个式子要从右向左读。

最内层先对 $z$ 积分。此时 $x,y$ 固定，我们沿一条平行于 $z$ 轴的线段累加。
中间层再对 $y$ 积分。它把许多线段并成一张切片。
最外层最后对 $x$ 积分。它把切片一张张叠起来，填满整个实体。

这就是把三重求和排成“盒子组成线、线组成面、面组成实体”的顺序。把多重积分化成累次积分的保证通常称为 Fubini 定理。

盒状区域上的三重积分可以按一个变量、再一个变量的顺序计算

盒子的三个坐标范围彼此独立，所以六种积分次序都能直接使用。右边的微分最先计算。

对于盒状区域，只要函数满足常见的连续条件，下面六种顺序都可以：

dx\,dy\,dz,\quad dx\,dz\,dy,\quad dy\,dx\,dz,\quad dy\,dz\,dx,\quad dz\,dx\,dy,\quad dz\,dy\,dx.

盒子的上下限都是常数，换顺序很轻松。在常见的连续或可积条件下，一般实体的积分值也不会因为顺序改变，但上下限必须重新分析；那才是三重积分真正费脑子的地方。

例题：盒子里的线性场量

计算

\iiint_B(x+2y+3z)\,dV, \qquad B=[0,2]\times[1,3]\times[0,1].

三个变量各自在固定区间内变化，可以直接采用 $dz\,dy\,dx$ ：

\int_0^2\int_1^3\int_0^1 (x+2y+3z)\,dz\,dy\,dx.

算完内层积分后，结果里不应该再出现内层变量。算完中间层后，只应剩下最外层变量。这个简单检查能很快发现漏代上下限或积分变量看错的问题。

一般实体：先找影子，再找穿过实体的线段

一般实体的三个坐标范围互相牵制，不能再把上下限都写成常数。最稳的办法是先选最内层变量，再把实体投影到与这个方向垂直的坐标平面上。

假设我们打算先对 $z$ 积分。把实体沿 $z$ 方向压到 $xy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$ 。对投影里的每个点 $(x,y)$ ，竖直线从下表面进入实体，从上表面离开，于是

E=\left\{(x,y,z):(x,y)\in D_{xy},\quad u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\right\},

并且

\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz \right]dA.

如果投影又能写成

a\le x\le b, \qquad p(x)\le y\le q(x),

完整的累次积分就是

\int_a^b\int_{p(x)}^{q(x)} \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

换最内层方向，方法完全一样：

\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{yz}} \left[ \int_{w_1(y,z)}^{w_2(y,z)}f(x,y,z)\,dx \right]dA_{yz},

或者

\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{xz}} \left[ \int_{v_1(x,z)}^{v_2(x,z)}f(x,y,z)\,dy \right]dA_{xz}.

所以，“先看哪个投影”并不是固定规则，而是由最内层微分决定：先积 $dz$ 看 $xy$ 投影，先积 $dx$ 看 $yz$ 投影，先积 $dy$ 看 $xz$ 投影。

第一卦限四面体 x+y+z≤4 向 xy 平面的投影，以及竖直线段的下界 z=0 和上界 z=4-x-y

固定投影点 $(x,y)$ 后，沿 $z$ 方向从底面 $z=0$ 走到斜面 $z=4-x-y$ ，这两个端点就是最内层积分的上下限。

这个交互图使用第一卦限内的四面体 $x+y+z\le4$ 。拖动投影点时，竖直线段的上端会随 $4-x-y$ 改变；切换到 $yz$ 投影后，同一个实体会改由 $x$ 方向的线段填充。

例题：第一卦限内平面下方的累积

设 $E$ 是第一卦限内、平面

2x+3y+z=6

下方的实体。计算

\iiint_E2x\,dV.

先决定让 $z$ 做最内层变量。第一卦限给出下界 $z=0$ ，平面方程解出上界：

0\le z\le6-2x-3y.

投影只是实体的“影子”，不是实体本身。 $D_{xy}$ 只告诉我们哪些 $(x,y)$ 会被用到；每个投影点上方的 $z$ 从哪里走到哪里，还要由下表面和上表面另外给出。

换积分次序：重画路径，不是移动三个字母

看一个次序为 $dz\,dy\,dx$ 的一般积分：

\int_a^b\int_{p(x)}^{q(x)} \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

三个层次的依赖关系很严格：最外层 $x$ 的上下限只能是常数；中间层 $y$ 的上下限可以依赖 $x$ ；最内层 $z$ 的上下限可以依赖 $x,y$ 。一般地，每一层的上下限可以含它外面的变量，却不能含它自己，也不能依赖尚未固定的内层变量。

同一四面体分别投影到 xy、yz、xz 平面，并沿 z、x、y 方向设置最内层积分

最内层是 $dz$ 、 $dx$ 、 $dy$ 时，分别看 $xy$ 、 $yz$ 、 $xz$ 投影；彩色箭头表示固定投影点后穿过实体的方向。

例如第一卦限四面体

E=\left\{(x,y,z):x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0,\ x+y+z\le4\right\}

按 $dz\,dy\,dx$ 可以写成

\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

如果要改成 $dx\,dz\,dy$ ，最内层变成 $x$ ，就把实体压到 $yz$ 平面。影子满足 $y\ge0$ 、 $z\ge0$ 、；固定后，平行于轴的线段满足。因此同一个积分变成

\int_0^4\int_0^{4-y}\int_0^{4-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

换序时可以按下面的顺序做：先把原积分翻译成空间不等式，再选新的最内层方向，接着画相应投影，最后沿新的切片方向读出上下限。直接擦掉 $dx,dy,dz$ 再重新排列，几乎一定会把原区域改坏。

为什么有时必须拆成两个积分

一个实体在旧方向上可能每条线只穿过一次，换个方向后，边界的“入口公式”却会在途中改变。这时不能用一套上下限硬写到底，只能把投影拆开。

考虑实体

E=\left\{(x,y,z):-1\le x\le2,\quad x^2\le y\le x+2,\quad0\le z\le1\right\}.

原次序 $dz\,dy\,dx$ 很直接：

\int_{-1}^{2}\int_{x^2}^{x+2}\int_0^1 f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

现在保持 $z$ 最内层，但交换 $x,y$ 。投影边界 $y=x^2$ 给出

-\sqrt y\le x\le\sqrt y,

而 $y=x+2$ 给出 $x=y-2$ 。新的左边界是 $-\sqrt y$ 与中较大的一个；两者在时交换角色。因此必须拆成

\int_0^1\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\int_0^1 f\,dz\,dx\,dy + \int_1^4\int_{y-2}^{\sqrt y}\int_0^1 f\,dz\,dx\,dy.

取 $f=1$ 可以顺手检查区域体积：

V = \int_0^1 2\sqrt y\,dy + \int_1^4(\sqrt y-y+2)\,dy = \frac{9}{2}.

“要不要拆域”只看一件事：在选定的切片方向上，入口或出口能不能用同一条公式覆盖整个投影。如果公式中途换了，或者一条线会穿过两个分离的区段，就在发生变化的位置拆开。

截面法：有时不必把三层都展开

三重积分的累次计算可以停在中间。固定 $z$ 后，如果我们已经知道横截面 $E_z$ 的面积

A(z)=\iint_{E_z}1\,dA,

那么整个实体的体积就是

V=\int_m^n A(z)\,dz.

空间实体可以看成一张张横截面沿高度方向累加

固定高度得到一张截面；先算截面面积，再沿高度累加，仍然是三重积分的“面组成体”过程。

以半径为 $R$ 的球体为例。高度固定为 $z$ 时，截面满足

x^2+y^2\le R^2-z^2,

所以它是半径 $\sqrt{R^2-z^2}$ 的圆，面积为

A(z)=\pi(R^2-z^2).

从南端 $z=-R$ 叠到北端 $z=R$ ：

V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2-z^2)\,dz = \frac{4}{3}\pi R^3.

这里不是“跳过了三重积分”，而是提前认出了内层二重积分的几何意义。能直接看出截面面积时，使用它往往比硬算两个根号积分更清楚。

体积、质量、平均值与质心

三重积分真正有用的地方，是同一套小盒子累加法可以处理很多空间量。差别只在于每个小盒子要乘什么函数。

体积

每个小盒子只贡献自身的体积，所以

V(E)=\iiint_E1\,dV.

质量

若 $\mu(x,y,z)$ 是质量密度，那么小盒子的质量近似为 $\mu\,dV$ ，总质量是

M=\iiint_E\mu(x,y,z)\,dV.

平均值

若 $f$ 是温度、浓度或其他标量场，它在实体上的体积平均值是

f_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{V(E)}\iiint_Ef(x,y,z)\,dV.

这就是加权平均的连续版本：每个位置的权重是它附近的小体积。比如单位立方体上的 $f=x+y+z$ ，三个坐标的平均值都是 $1/2$ ，因此

f_{\mathrm{avg}}=\frac12+\frac12+\frac12=\frac32.

质心

质心是按质量加权后的平均位置。先计算三个一阶矩：

M_{yz}=\iiint_E x\mu\,dV, \qquad M_{xz}=\iiint_E y\mu\,dV, \qquad M_{xy}=\iiint_E z\mu\,dV.

再除以总质量：

\bar x=\frac{M_{yz}}{M}, \qquad \bar y=\frac{M_{xz}}{M}, \qquad \bar z=\frac{M_{xy}}{M}.

密度不均匀时质心会偏向高密度区域

几何中心只看形状，质心还看密度。哪一侧更重，质心就会向哪一侧移动。

交互图中的长方体密度为 $1+ax+bz$ 。分别增大 $a$ 与 $b$ ，可以看到质心沿 $x$ 与 $z$ 方向移动；因为密度与 $y$ 无关，一直留在中线上。

例题：密度只向一个方向增加

长方体

E=[0,1]\times[0,2]\times[0,1]

的密度为

\mu(x,y,z)=1+x.

求质量和质心。

先算总质量。密度只依赖 $x$ ，但仍要把三个方向全部累加：

M = \int_0^1\int_0^2\int_0^1(1+x)\,dz\,dy\,dx =3.

对称性能省掉很多积分，但先要同时检查“区域”和“密度”。区域关于某个中面对称还不够；如果密度在镜像两侧不同，质心仍然会偏离这个中面。

从极坐标走向柱坐标和球坐标

到目前为止，我们一直用直角坐标的小盒子

dV=dx\,dy\,dz.

但上一章已经看到，圆形底面用直角网格会制造根号边界，极坐标却能把圆盘写成简单的 $r$ 与 $\theta$ 范围。把极坐标小片沿 $z$ 方向加一层厚度 $dz$ ，就得到柱坐标体积微元：

dV = \underbrace{r\,dr\,d\theta}_{\text{极坐标底面积}} \,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

例如圆锥

0\le z\le1, \qquad x^2+y^2\le(1-z)^2

在柱坐标中只是

0\le\theta\le2\pi, \qquad 0\le z\le1, \qquad 0\le r\le1-z.

于是体积为

V = \int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^{1-z} r\,dr\,d\theta\,dz = \frac{\pi}{3}.

球体则提示我们再换一套语言。球坐标用到原点的距离 $\rho$ 、从正 $z$ 轴量下来的极角 $\phi$ ，以及绕 $z$ 轴的方位角 $\theta$ ：

x=\rho\sin\phi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\phi.

它的小体积不是 $d\rho\,d\phi\,d\theta$ ，而是

dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.

同一个半径为 $R$ 的球体，刚才用水平截面算出了体积；用球坐标则写成

V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \frac43\pi R^3.

这两种算法没有谁更“高级”。截面简单时就用截面；边界围绕 $z$ 轴组织时考虑柱坐标；边界由同心球面和圆锥面组织时考虑球坐标。下一章会专门解释这两套坐标的范围、体积因子和定限方法。

球坐标的径向变量常写成 $\rho$ ，质量密度也常写成 $\rho$ 。同一道题里不要让一个符号承担两个角色。本教程在两者同时出现时用 $\mu$ 表示质量密度，用 $\rho$ 表示球坐标半径。

常见误区

把三重积分一律叫作体积

只有

\iiint_E1\,dV

才直接给出 $E$ 的体积。若被积函数是 $f$ ，积分的单位是“ $f$ 的单位乘体积单位”。先检查单位，往往能发现自己少除了体积，或错误地把质量当成密度。

把投影区域当成完整实体

$D_{xy}$ 只决定外两层变量。最内层的 $z$ 还要从下表面走到上表面。漏掉这段高度，相当于只写了二维影子，没有把实体填起来。

让某一层的上下限含有它自己

写 $dz$ 这一层时， $z$ 已经是正在变化的变量，上下限不能再含 $z$ 。例如

\int_0^{4-z}f(x,y,z)\,dz

不是一个合法的定限描述。上界可以含外层已固定的 $x,y$ ，却不能含当前的 $z$ 。

换序时只移动微分

微分顺序一变，穿过实体的线段方向和投影平面也会改变。除盒状区域等少数特殊情形外，上下限通常都要重写，而且有时必须拆域。

换坐标后忘记体积因子

柱坐标要带 $r$ ，球坐标要带 $\rho^2\sin\phi$ 。这些因子记录坐标网格在空间里的实际拉伸，漏掉后连单位体积都会算错。

做题时的一条稳妥路线

先说清楚积分对象。是求体积、质量、平均值、质心，还是某个场量的总累积？这一步决定被积函数是什么，也决定结果应有的单位。

把空间区域写成不等式，并画出关键边界。至少标出坐标平面、交线和截距；只盯着三维方程，很容易漏掉实体真正占据的那一侧。

选择最内层变量，沿这个方向想象一条针穿过实体。针的入口和出口给出最内层上下限，实体在垂直坐标平面上的影子给出外两层范围。

检查每层依赖关系。最内层限可以含两个外层变量，中间层限只能含最外层变量，最外层限应是常数；如果边界公式中途改变，就拆分区域。

练习

练习 1

计算

\iiint_B xyz\,dV, \qquad B=[0,2]\times[0,1]\times[1,3].

练习 2

设 $E$ 位于曲面 $z=3+x-y$ 下方、 $xy$ 平面上方，投影区域为矩形 $0\le x\le2$ 、。写出计算体积的三重积分，并求体积。

练习 3

设 $E$ 是第一卦限内平面 $x+y+z=1$ 下方的四面体。用 $dz\,dy\,dx$ 写出 $\iiint_Ef\,dV$ ，并求的体积。

练习 4

把积分

\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

改写成最内层先对 $x$ 积分、次序为 $dx\,dz\,dy$ 的形式。

练习 5

实体的原积分为

\int_{-1}^{2}\int_{x^2}^{x+2}\int_0^1 1\,dz\,dy\,dx.

把它改写为 $dz\,dx\,dy$ ，并计算体积。

练习 6

单位立方体 $0\le x,y,z\le1$ 的密度为 $\mu(x,y,z)=2+z$ 。求质量和质心。

练习 7

求函数

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

在单位球体 $x^2+y^2+z^2\le1$ 上的平均值。

练习 8

用柱坐标求圆锥

0\le z\le2, \qquad x^2+y^2\le\left(1-\frac z2\right)^2

的体积。

x

.

V = \int_0^2\int_0^1\int_0^{3+x-y} 1\,dz\,dy\,dx.

0

2 π

\int_{0}^{π}

\int_{0}^{1}

ρ^{4}

\sin

ϕ

d

ρ

d

ϕ

d

θ

=

\frac{4 π}{5}

.

\iiint_Ef\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \frac{4\pi}{5}.