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上一节极坐标中的二重积分下一节柱坐标、球坐标与空间坐标变换

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三重积分：空间区域中的累积 | 多变量微积分 I | 自在学

数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场三重积分：空间区域中的累积

三重积分：空间区域中的累积

二重积分把平面区域切成小矩形，再把每个小矩形上的量加起来。三重积分做的是同一件事，只是区域从一张平面变成一个空间实体，小块从小矩形变成小长方体。

如果 $E$ 是空间中的实体， $f(x,y,z)$ 是定义在实体内的量，那么

\iiint_E f(x,y,z)\,dV

从小长方体开始
盒状区域与迭代积分
- 例题：计算盒状区域上的三重积分
一般空间区域：先找影子，再找高度
- 例题：第一卦限中平面下方的累积
积分次序：先画切片，再写符号
体积、质量、平均值和质心
- 例题：密度变化时质心会移动
用截面理解空间区域
常见误区
练习

目录

从小长方体开始
盒状区域与迭代积分
- 例题：计算盒状区域上的三重积分
一般空间区域：先找影子，再找高度
- 例题：第一卦限中平面下方的累积
积分次序：先画切片，再写符号
体积、质量、平均值和质心
- 例题：密度变化时质心会移动
用截面理解空间区域
常见误区
练习

y

,

z

)

d

V

表示把 $E$ 内每一点附近的小体积所携带的量累加起来。这里的 $dV$ 是体积微元。在直角坐标中，它对应一个很小的长方体体积。

三重积分把空间区域切成许多小体积并累加

三重积分的基本画面：空间区域、取样点、密度和小体积一起决定每一小块的贡献。

从小长方体开始

先看一个盒状区域

B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h].

把 $[a,b]$ 分成 $m$ 段，把 $[c,d]$ 分成 $n$ 段，把 $[e,h]$ 分成 $p$ 段。这样 $B$ 被切成 $mnp$ 个小长方体。每个小长方体的体积是

\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.

在第 $(i,j,k)$ 个小长方体中取一个点 $(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)$ ，用函数值近似这一小块上的量。所有小块加起来，得到三重黎曼和

\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p} f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V.

当三个方向的网格都不断变细，这个和的极限就是三重积分。

\iiint_B f(x,y,z)\,dV =\lim_{\max \Delta V\to 0} \sum f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V.

三重积分不是“多写一个积分号”这么简单。它表示累积对象从平面面积上的小片变成了空间体积中的小块。如果 $f$ 是密度， $f\,dV$ 是一小块质量；如果 $f$ 是温度， $\iiint_E f\,dV$ 先得到温度对体积的总累积，再除以体积才是平均温度。

盒状区域与迭代积分

盒状区域最像一维定积分的直接推广。若 $f$ 在盒状区域 $B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h]$ 上连续，就可以把三重积分写成迭代积分。

\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \int_a^b\int_c^d\int_e^h f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

最内层的 $dz$ 表示先固定 $x$ 和 $y$ ，沿着竖直方向累加；得到一个关于 $x,y$ 的函数后，再沿 $y$ 累加；最后沿 $x$ 累加。

盒状区域上的三重积分可以按一个变量、再一个变量的顺序计算

盒状区域中，六种积分次序都可以使用。选择顺序时看计算是否更顺手。

例题：计算盒状区域上的三重积分

计算

\iiint_B (x+2y+3z)\,dV, \quad B=[0,2]\times[1,3]\times[0,1].

先把区域写成三个独立区间。这里 $x$ 从 $0$ 到 $2$ ， $y$ 从 $1$ 到 $3$ ， $z$ 从 $0$ 到 $1$ ，所以可以直接写成

\int_0^2\int_1^3\int_0^1 (x+2y+3z)\,dz\,dy\,dx.

对 $z$ 积分时，把 $x$ 和 $y$ 当常数。内层积分为

\int_0^1 (x+2y+3z)\,dz =x+2y+\frac{3}{2}.

再对 $y$ 积分：

\int_1^3\left(x+2y+\frac{3}{2}\right)\,dy =2x+11.

最后对 $x$ 积分：

\int_0^2(2x+11)\,dx=26.

这里的数值 $26$ 不一定是体积。只有当被积函数恒为 $1$ 时，三重积分才直接给出区域体积。

一般空间区域：先找影子，再找高度

真实题目中的空间区域很少刚好是盒子。更常见的情况是：实体在 $xy$ 平面上有一个投影区域 $D$ ，而每个 $(x,y)$ 上方有一段竖直线段。

如果区域可以写成

E=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\},

那么三重积分可以写成

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iint_D\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)dA.

这句话的读法很具体：先在平面上确定一点 $(x,y)$ ，再沿着通过这一点的竖直线段从下表面积到上表面，最后把所有竖直线段在投影区域 $D$ 上累加。

一般空间区域可以先投影到平面，再沿竖直方向累加

先找投影区域，再找穿过实体的线段上下端点，是写三重积分限的常用方法。

例题：第一卦限中平面下方的累积

设 $E$ 是第一卦限内、平面

2x+3y+z=6

下方的实体。计算

\iiint_E 2x\,dV.

第一卦限给出 $x\ge 0$ 、 $y\ge 0$ 、 $z\ge 0$ 。平面下方给出

0\le z\le 6-2x-3y.

要让上界非负，需要 $2x+3y\le 6$ 。

把实体投影到 $xy$ 平面，得到三角形区域

D=\{(x,y):0\le x\le 3,\ 0\le y\le 2-\frac{2}{3}x\}.

按照“先 $z$ ，再 $y$ ，再 $x$ ”写出积分：

\iiint_E 2x\,dV = \int_0^3\int_0^{2-\frac{2}{3}x} \int_0^{6-2x-3y}2x\,dz\,dy\,dx.

先对 $z$ 积分，得到竖直线段长度乘以 $2x$ ：

\int_0^{6-2x-3y}2x\,dz =2x(6-2x-3y).

继续计算外两层：

\int_0^3\int_0^{2-\frac{2}{3}x} 2x(6-2x-3y)\,dy\,dx=9.

写一般空间区域的积分限时，最容易错的是把三维边界方程直接混在同一层。先决定最内层变量，再问“固定外层变量以后，它从哪里到哪里”，这样每一层的上下限才有清楚含义。

积分次序：先画切片，再写符号

三重积分有六种常见次序：

dx\,dy\,dz,\quad dx\,dz\,dy,\quad dy\,dx\,dz,\quad dy\,dz\,dx,\quad dz\,dx\,dy,\quad dz\,dy\,dx.

这些写法不是把字母随意排列。每一种次序都对应一种切片方式。若最内层是 $dz$ ，通常先看 $xy$ 平面的投影；若最内层是 $dx$ ，通常先看 $yz$ 平面的投影；若最内层是 $dy$ ，通常先看 $xz$ 平面的投影。

同一空间实体可以从三个投影平面组织积分次序

改变积分次序时，本质上是在换投影平面和切片方向。

以第一卦限内平面 $x+y+z=4$ 下方的四面体为例。如果先沿 $z$ 方向累加，可以写成

\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

如果改成最内层先对 $x$ 积分，就要看 $z$ 平面的投影。投影满足 $y\ge 0$ 、 $z\ge 0$ 、 $y+z\le 4$ ，固定 $(y,z)$ 后，

0\le x\le 4-y-z.

于是同一个积分也可以写成

\int_0^4\int_0^{4-y}\int_0^{4-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

判断一个积分限是否合理，可以做两个快速检查。第一，最内层上下限只能含外层变量，不能含正在积分的变量。第二，每一层固定后，剩下的范围应该是一段线段、一个平面区域或一个区间，而不是还没有说清楚的三维实体。

体积、质量、平均值和质心

三重积分最直接的应用是体积。若 $E$ 是空间实体，那么

V(E)=\iiint_E 1\,dV.

若实体密度为 $\rho(x,y,z)$ ，质量是

M=\iiint_E \rho(x,y,z)\,dV.

如果 $f(x,y,z)$ 表示温度、浓度、电荷密度以外的某种场量，它在 $E$ 上的平均值是

f_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{V(E)}\iiint_E f(x,y,z)\,dV.

若 $\rho(x,y,z)$ 是质量密度，质心坐标为

\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV,\quad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV,\quad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV.

密度不均匀时质心会偏向高密度区域

质心由质量分布决定。密度不均匀时，它不一定在几何中心。

例题：密度变化时质心会移动

长方体

E=[0,1]\times[0,2]\times[0,1]

的密度为

\rho(x,y,z)=1+x.

求它的质量和质心。

先计算质量。由于密度只依赖 $x$ ， $y$ 和 $z$ 方向只贡献区间长度：

M=\int_0^1\int_0^2\int_0^1(1+x)\,dz\,dy\,dx =3.

计算 $\bar{x}$ 的分子：

\iiint_E x(1+x)\,dV =2\int_0^1(x+x^2)\,dx =\frac{5}{3}.

由于密度不依赖 $y$ 和 $z$ ，在这两个方向上仍然保持对称，所以

\bar{y}=1,\quad \bar{z}=\frac{1}{2}.

质心是

\left(\frac{5}{9},1,\frac{1}{2}\right).

用截面理解空间区域

有些实体不好直接想象成“竖直线段堆起来”，但可以看成一张张截面叠起来。固定 $z$ ，得到截面面积 $A(z)$ ，再把这些截面沿 $z$ 方向累加，就得到体积：

V=\int_m^n A(z)\,dz.

这其实也是三重积分的切片思想。只是内层两重积分已经被概括成了截面面积。

空间实体可以看成一张张横截面沿高度方向累加

固定一个变量得到横截面，是理解空间区域和估算体积的有效方式。

例如实体位于 $xy$ 平面上方、曲面

z=4-x^2-y^2

下方。固定 $z$ 后，截面满足

x^2+y^2\le 4-z.

所以截面是半径 $\sqrt{4-z}$ 的圆，面积为

A(z)=\pi(4-z),\quad 0\le z\le 4.

于是体积为

V=\int_0^4\pi(4-z)\,dz=8\pi.

这里没有把三重积分完全展开成 $dx\,dy\,dz$ 的形式，但思想相同：先把每一层的累积看清楚，再沿高度方向累加。

常见误区

把投影区域当成实体本身

投影区域 $D$ 只是实体在某个坐标平面上的影子。它负责外两层变量的范围，不包含最内层变量的上下界。若区域写成

E=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\},

那么 $D$ 只回答“哪些 $(x,y)$ 会被用到”，不回答“ $z$ 到哪里为止”。

忘记被积函数的单位

若 $\rho$ 是质量密度， $\rho\,dV$ 是质量；若 $f$ 是温度， $f\,dV$ 不是温度，而是“温度乘体积”的累积。要得到平均温度，必须除以体积。

机械改变积分次序

改变次序时不能只移动 $dx,dy,dz$ 。上下限也必须跟着新的投影和切片方向重写。对一般区域来说，积分次序改变后，上下限通常会变。

如果你发现某一层积分的上界含有正在积分的变量，例如 $\int_0^{4-z} dz$ ，几乎可以确定限写错了。上界和下界只能描述“当前变量的范围”，它们可以依赖外层已经固定的变量，但不能依赖当前变量本身。

练习

练习 1

计算

\iiint_B xyz\,dV, \quad B=[0,2]\times[0,1]\times[1,3].

因为区域是盒状区域，可以分离计算：

\iiint_B xyz\,dV = \left(\int_0^2 x\,dx\right) \left(\int_0^1 y\,dy\right) \left(\int_1^3 z\,dz\right) =2\cdot\frac{1}{2}\cdot4=4.

练习 2

设 $E$ 位于曲面 $z=3+x-y$ 下方、 $xy$ 平面上方，且投影区域为矩形 $0\le x\le 2$ 、 $0\le y\le 1$ 。写出计算体积的三重积分，并求体积。

因为 $0\le z\le 3+x-y$ ，体积为

V=\int_0^2\int_0^1\int_0^{3+x-y}1\,dz\,dy\,dx.

先对 $z$ 积分，得到

V=\int_0^2\int_0^1(3+x-y)\,dy\,dx =7.

练习 3

设 $E$ 是第一卦限内平面 $x+y+z=1$ 下方的四面体。用 $dz\,dy\,dx$ 的次序写出 $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ ，并求 $E$ 的体积。

投影到 $xy$ 平面后有 $0\le x\le 1$ 、 $0\le y\le 1-x$ 。固定 $(x,y)$ 后，

0\le z\le 1-x-y.

所以

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

体积取 $f=1$ ：

V=\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx=\frac{1}{6}.

练习 4

把积分

\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

改写成最内层先对 $x$ 积分的形式。

原区域是第一卦限内 $x+y+z\le 4$ 的四面体。若最内层对 $x$ 积分，就看 $yz$ 平面投影：

y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad y+z\le 4.

固定 $(y,z)$ 后，

0\le x\le 4-y-z.

因此可以写成

\int_0^4\int_0^{4-y}\int_0^{4-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

练习 5

单位立方体 $0\le x,y,z\le 1$ 的密度为 $\rho(x,y,z)=2+z$ 。求质量和质心。

质量为

M=\int_0^1\int_0^1\int_0^1(2+z)\,dz\,dy\,dx=\frac{5}{2}.

由于密度只依赖 $z$ ，所以

\bar{x}=\frac{1}{2},\quad \bar{y}=\frac{1}{2}.

再计算

\bar{z} = \frac{1}{M}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 z(2+z)\,dz\,dy\,dx = \frac{1}{5/2}\left(1+\frac{1}{3}\right) =\frac{8}{15}.

质心为

\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{8}{15}\right).

1

(

x

+

2y+

3z)dzdydx.

0

1

(

x

+

2y+

3z)dz=

x+

2y+

23.

+

23

)

d

y

=

2x+

11.

26.

因此原三重积分的值是 $26$ 。

z

)

x

≤

3, 0≤

y≤

2−

32x}.

∭E

2

x

d

V

=

∫03∫02−32x∫06−2x−3y2xdzdydx.

6

−

2

x

−

3

y

2

x

d

z

=

2x(6−

2x−

3y).

2−32x

2

x

(

6

−

2x−

3y)dydx=

9.

所以原积分等于 $9$ 。

x

(

1

+

x)dV=

2∫01(x+

x2)dx=

35.

因此

\bar{x}=\frac{5/3}{3}=\frac{5}{9}.

zˉ

=

21.

)

.

几何中心是 $(1/2,1,1/2)$ 。因为密度随着 $x$ 增大而增大，质心向 $x$ 较大的一侧移动。

y)dydx=

7.

01

∫01−x

∫01−x−y

f

(

x

,

y

,

z

)

d

z

d

y

d

x

.

x−

y)dydx=

61.

04−y−z

f

(

x

,

y

,

z

)

d

x

d

z

d

y

.

21

.

01

∫01

∫01

z

(

2

+

z)dzdydx=

5/21(1+31)=

158.

)

.