Stokes 定理与 Divergence Theorem | 多变量微积分 I | 自在学

Stokes 定理与 Divergence Theorem

Green 定理把平面区域的内部信息和边界曲线上的累积联系起来。本章把这件事推到三维空间：开曲面的边界曲线对应 Stokes 定理，闭曲面的通量对应 Divergence Theorem。

这两个定理看起来公式很长，其实要抓住一句话：边界上测到的总效果，等于内部每一点局部变化的累积。区别只在于“边界”是什么，“局部变化”又是哪一种。

三栏教学信息图，对比 Green、Stokes、Divergence 定理中内部变化与边界累积的关系。

Green、Stokes 与 Divergence 定理的共同骨架：内部局部变化的累积对应边界上的环流或通量。

共同的骨架

先把三条定理放在同一张桌面上。Green 定理处理平面区域，Stokes 定理处理空间中的开曲面，Divergence Theorem 处理空间中的实体区域。

\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA

\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS

\iint_{\partial E}\mathbf F\cdot \mathbf n\,dS = \iiint_E\nabla\cdot \mathbf F\,dV

这三条公式的左边都在边界上积分。Green 和 Stokes 的左边是沿闭曲线的环流；Divergence Theorem 的左边是穿过闭曲面的净通量。

右边都在内部积分。Green 定理的右边是平面旋转量，Stokes 定理的右边是三维旋度穿过曲面的通量，Divergence Theorem 的右边是体内散度的累积。

学本章时，不要先问“我要背哪条公式”。先问边界是什么：如果边界是一条闭曲线，并且题目问环流，就看 Stokes；如果边界是一个闭曲面，并且题目问净流出通量，就看 Divergence Theorem。

Stokes 定理

Stokes 定理说，沿曲面边界走一圈得到的环流，等于曲面上旋度的通量。

设 $\mathbf F$ 在曲面附近有连续偏导数， $S$ 是有方向的光滑或分片光滑曲面， $\partial S$ 是它的边界曲线。只要边界方向和曲面法向满足右手规则，就有

\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS

这里 $\nabla\times\mathbf F$ 是旋度。它描述向量场在局部让小转轮旋转的趋势。把旋度投影到法向 $\mathbf n$ 上，再对整个曲面累加，就得到边界上的总环流。

Stokes 定理方向约定示意图：开曲面 S、边界 C 的方向、法向 n 与右手规则。

右手四指沿边界方向弯曲时，拇指所指即为曲面法向 $n$ 的正方向。

方向是 Stokes 定理里最容易丢掉的一半信息。选定法向后，右手拇指指向法向，四指弯曲方向就是边界的正方向。反过来也可以：题目给了边界方向，就用右手规则反推法向。

如果把边界方向反过来，线积分会变号；如果把曲面法向反过来，旋度通量也会变号。Stokes 定理要求这两个方向同时匹配，而不是各算各的。

例题：用曲面替换简化环流

设

\mathbf F(x,y,z)=\left\langle -\frac y2,\frac x2,0\right\rangle

$S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge 0$ ，法向取向上。边界是单位圆，按从上往下看逆时针方向。求

\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r

先算旋度。因为 $\mathbf F=\langle -y/2,x/2,0\rangle$ ，所以

\nabla\times\mathbf F=\langle 0,0,1\rangle

换曲面时要守住边界

Stokes 定理常用来把难曲面换成简单曲面。只要边界曲线相同，方向相容，向量场在两张曲面之间的空间里没有断点或奇点，就可以换。

同一圆形边界 C 张成平圆盘 S1 和鼓起曲面 S2，边界方向一致，可用 Stokes 定理换曲面。

Stokes 定理中，若曲面共用同一边界 $C$ 且方向一致，可选择更容易积分的曲面。

这个技巧有两个限制。第一，不能换掉边界；边界曲线变了，线积分就不再是同一个问题。第二，不能让换曲面的过程穿过向量场没有定义的地方。很多看起来像 Stokes 定理的题，其实在考这个条件。

例题：把抛物面换成圆盘

设

\mathbf F(x,y,z)=\langle z,x,y\rangle

$S$ 是抛物面 $z=1-x^2-y^2,\ z\ge 0$ ，法向取向上。它的边界是单位圆，方向按从上往下看逆时针。求。

先算旋度：

\nabla\times\mathbf F = \left\langle \frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial z}{\partial z}-\frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y} \right\rangle = \langle 1,1,1\rangle

“边界相同”不是“投影相同”。如果两张曲面的空间边界不同，或者方向没有对应好，不能只凭图形长得像就替换曲面。

Divergence Theorem

Divergence Theorem 也叫 Gauss 定理。它处理的是闭曲面通量：穿出闭曲面的净流出量，等于闭曲面包住的体积里散度的累积。

设 $E$ 是空间中的实体区域，边界 $\partial E$ 是闭合的分片光滑曲面，法向取外法向。若 $\mathbf F$ 在 $E$ 附近有连续偏导数，则

\iint_{\partial E}\mathbf F\cdot \mathbf n\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV

左边在整个闭曲面上算净流出通量。右边在体内累加散度。散度为正的地方像源，向外贡献更多流量；散度为负的地方像汇，吸收流量；散度为零的地方不增加净流出。

半透明闭曲面包围区域 E，外法向箭头指向曲面外侧，内部源点产生向外流动的向量场，表示散度定理中的净流出通量。

Divergence Theorem 将区域 $E$ 内部的散度累积与闭曲面 $\partial E$ 上的净流出通量联系起来。

Divergence Theorem 的曲面必须闭合，并且法向默认是外法向。若题目给的是开曲面，例如只有一个碗面或一个圆柱侧面，不能直接把它当成 $\partial E$ ；通常要补上盖子，再减掉补面通量。

例题：立方体上的总通量

设 $\mathbf F(x,y,z)=\langle x,y,z\rangle$ ， $E=[0,a]\times[0,a]\times[0,a]$ 。求穿出立方体边界的总通量。

坐标系中的立方体 E，六个面带向外法向箭头，内部暖色点阵表示散度等于 3。

向量场穿出立方体六个面的通量示意，体内散度为 $3$ 。

题目问的是穿出闭曲面 $\partial E$ 的总通量，曲面是闭合的，法向取外法向，适合用 Divergence Theorem。

计算散度：

\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3

守恒、源汇与物理直观

把 $\mathbf F$ 看成流体速度场时， $\mathbf F\cdot\mathbf n$ 表示单位时间穿过曲面单位面积的流量。闭曲面上的通量为正，表示整体流出多于流入；为负，表示整体流入多于流出。

控制体中的流体流入、流出、源、汇与累积变化关系示意图。

控制体中的质量守恒：累积变化等于流入减流出，再加源并减去汇。

如果体内没有源也没有汇，并且流体不可压缩，常见模型会给出

\nabla\cdot\mathbf F=0

于是任意闭曲面的净通量都是 $0$ 。这不是说每个位置都没有流动，而是说流入与流出在总量上抵消。

在电磁学中，Gauss 定律也有同样结构：电场穿出闭曲面的通量由曲面内部包住的电荷决定。数学上，这正是 Divergence Theorem 把“局部源密度”和“边界通量”连接起来的方式。

Stokes 定理偏向“绕着边界转一圈”的问题，Divergence Theorem 偏向“穿出封闭边界多少”的问题。一个看旋度，一个看散度；一个边界是曲线，一个边界是曲面。

选择哪一个定理

遇到题目时，可以按问题对象来选工具。

题目特征	优先考虑	关键检查
平面闭曲线上的环流	Green 定理或 Stokes 定理	区域是否在平面内，方向是否为正向
空间闭曲线上的环流	Stokes 定理	是否能找到边界为该曲线的曲面
闭曲面上的净通量	Divergence Theorem	曲面是否闭合，法向是否向外
开曲面上的通量	直接曲面积分，或补成闭曲面后相减	补面的通量是否容易算
标量曲面积分	通常不是这两个定理	被积函数是不是 $\mathbf F\cdot\mathbf n$

常见误区集中在四件事上：把开曲面误当成闭曲面；把曲线方向和法向分开处理；把散度和旋度混在一起；换曲面时穿过向量场的奇点。

如果向量场在区域内部没有定义，定理可能失效。例如某些场在原点有奇点，外表面看起来闭合，也不能直接把包含原点的体积拿来套 Divergence Theorem。

练习

练习 1：设 $\mathbf F=\langle -y,x,0\rangle$ ， $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge 0$ ，法向取向上。边界若按从上往下看顺时针方向，求。

练习 2：设 $\mathbf F=\langle z,x,y\rangle$ ， $C$ 是平面 $x+y+z=1$ 与第一卦限（ $x, y,$ ）围成的三角形边界，方向按从法向方向看为逆时针。求。

练习 3：设 $\mathbf F=\langle x^3,y^3,z^3\rangle$ ，求它穿出单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的通量。

练习 4：设 $\mathbf F=\langle x,y,z\rangle$ 。只求圆柱 $x^2+y^2\le 1,\ 0\le z\le 2$ 的上盖、向上法向的通量。能不能直接用 Divergence Theorem？

练习 5：下面三个问题分别适合用哪个定理？

（1）求向量场沿空间闭曲线的环流。

（2）求向量场穿出一个封闭椭球面的总通量。

（3）求向量场沿平面闭曲线的环流，曲线围成的区域很容易描述。

C : x^{2} + y^{2} = 1, z = 0

C:x^2+y^2=1,\ z=0

z

\geq

0

x,y,z\ge0