Stokes 定理与散度定理

上一章，我们刚用散度和旋度给向量场装上了两支“局部探针”：散度盯着一点附近是往外冒还是往里收，旋度盯着一点附近有没有打转的趋势。现在的问题是，这些逐点测到的局部信息，怎样汇总成整个边界上真正能测到的量？

这时要回望前面学过的 Green 定理。它已经给出了二维原型：沿边界走一圈测到的总效果，可以改成在内部逐点累加局部变化。可它的舞台还是一张平面，只能直接处理平面区域 $D$ 和边界曲线 $\partial D$。如果闭曲线翘到了空间里，曲线中间张着的是一块弯曲曲面，环流该怎样算？如果流体穿过的是一个气球那样的闭曲面，净流出量又该怎样算？

这两个问题不能硬塞进同一个公式，因为它们的“边界”不是同一种东西。

• 空间中的开曲面 $S$，边界是一条或几条闭曲线 $\partial S$。这条路通向 Stokes 定理：边界环流等于曲面上的旋度通量。
• 空间中的实体 $E$，边界是一个闭曲面 $\partial E$。这条路通向 散度定理：闭曲面净通量等于体内散度的累积。

它们一个研究“绕着边界转了多少”，一个研究“穿出边界多少”。把这两个动作分清，本章最长的公式就不再吓人。

Green 定理怎样走进三维

先把前面学过的两种 Green 定理写在一起。设平面向量场为 $\mathbf F=\langle P,Q\rangle$，区域 $D$ 的边界取正向，那么切向形式是

它把边界环流和区域内部的二维旋转量连起来。通量形式则是

它把穿出边界曲线的净通量和区域内部的散度连起来。

这两条公式在平面里住在一起，到了三维却自然分家了。切向形式要跟着闭曲线来到空间，内部的二维旋转量升级成三维旋度，于是得到 Stokes 定理。通量形式要把平面区域加厚成实体，边界曲线升级成闭曲面，于是得到散度定理。

若

那么三维旋度是向量

三维散度是标量

旋度必须是向量，因为三维里的小转轮不只会绕 $z$ 轴转，还可能绕任意轴转。旋度的方向给出最强旋转的轴，$(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n$ 则只取绕法向 $\mathbf n$ 的那部分旋转。散度不需要方向，它只记一笔总账：这个点附近流出的量比流入的量多多少。

Stokes 定理：曲面里的旋转怎样累成边界环流

想象一块柔软的布，布边缝成一圈。向量场在布的每个小地方都有一点“带着小转轮转动”的趋势。相邻小块交界处的切向运动方向相反，会互相抵消；等所有小块加起来，真正留下的只剩最外圈布边上的环流。

这就是 Stokes 定理的画面。

设 $S$ 是有方向、可定向、分片光滑且面积有限的曲面，边界 $C=\partial S$ 是分片光滑闭曲线。若 $\mathbf F$ 在包含 $S$ 的开区域内有连续一阶偏导数，并且 $C$ 的方向与 $S$ 的法向相容，那么

左边沿边界取向量场的切向分量并累加，得到环流或做功。右边把每一点的旋度投影到法向上，再铺满整个曲面。一个是边界上的总转动，一个是内部所有局部转动的总和。

方向不是公式旁边的装饰

开曲面没有天然的“外侧”。你可以选一侧为正面，也可以选另一侧，但一旦法向 $\mathbf n$ 定下，边界方向就不能再自由选。

最可靠的判断有三种等价说法：

1. 右手拇指指向 $\mathbf n$，四指弯曲的方向就是 $C$ 的正向。
2. 从法向量尖端朝曲面看，正向边界是逆时针。
3. 沿正向边界行走，头朝法向，曲面应一直在左手边。

如果法向反过来，边界方向也必须反过来。两边会同时乘以 $-1$，等式仍然成立。若只反一个，答案就会差一个负号。

曲面还必须能连续地选择法向。普通圆盘、半球面、抛物面片都可以；只有一侧、绕一圈后法向会翻转的曲面不能直接使用这条定理。如果 $S$ 有孔，边界可能有多条闭曲线，每一条都要使用由同一个法向诱导出的方向，内圈与外圈通常方向相反。

为什么内部会消失，只留下外边界

把曲面切成许多很小的曲面片。每片都近似平面，所以可以在这块小片上使用平面里的 Green 思路。现在把所有小片的等式相加。

任意一条内部切边都属于相邻两片。对其中一片来说它朝这个方向走，对另一片来说恰好反向走，因此两次线积分相加为零。曲面切得再碎也没关系，内部边一条条抵消，只有整张曲面的外边界没有邻居来抵消。

这也解释了 Stokes 定理为什么允许曲面弯曲：弯曲只会改变每一小片的法向和投影，不会改变“内部边成对抵消”这件事。

例题：半球面不用真的积半球面

设

$S$ 是单位上半球面，法向取向上。它的边界 $C$ 是 $z=0$ 上的单位圆，从上方看按逆时针方向。求

如果你想直接核对，令 $\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,0\rangle$，$0\le t\le2\pi$。那么 $\mathbf F\cdot\mathbf r'(t)=1/2$，线积分同样是 。直接法和 Stokes 法都对，但后者已经暴露出最有用的技巧：

换曲面：Stokes 定理最实用的计算技巧

同一条铁丝圈可以绷一张平膜，也可以撑起一顶弯帽。只要两张曲面都以这条铁丝为边界，方向相容，并且向量场在所选曲面及其附近满足光滑条件，旋度通量都等于同一个边界环流。

图中两张曲面共用同一条空间边界 $C$。选择法向时要让两边诱导出相同的 $C$ 方向。

这里有三道安全检查：

• 必须是同一条空间曲线，不能只看它们在某个坐标面上的投影相同。
• 新曲面的法向必须诱导出题目给定的边界方向。
• $\mathbf F$ 必须在新曲面及其附近有连续一阶偏导数。曲面若穿过向量场的奇点，Stokes 定理不能在那里使用。

例题：斜三角形上的环流

设

$C$ 是平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限截出的三角形边界。方向与法向 $\langle1,1,1\rangle$ 相容。求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$。

这个例子里没有把 $\mathbf r_x\times\mathbf r_y$ 单位化，因为曲面积分真正需要的是 $\mathbf n\,dS$。它已经把“单位法向”和“面积伸缩”打包在一起，计算通常更短。

Stokes 题的计算顺序

看到空间闭曲线环流时，可以按下面的顺序做：

1. 算 $\nabla\times\mathbf F$，先看它是否为零、常向量或有明显对称性。
2. 找一张以 $C$ 为边界的曲面，不默认使用题目画出来的那张。
3. 比较平圆盘、平面片、图形曲面和原曲面，选择 $\mathbf n\,dS$ 最简单的一张。
4. 用右手规则核对符号。
5. 检查新曲面上有没有奇点，再开始积分。

散度定理：小源汇怎样汇成闭曲面的净流出

Stokes 定理处理不了“一个气球总共漏出去多少”这个问题。气球表面是闭曲面，它没有边界曲线；硬把它塞进 Stokes 定理，只会得到闭曲面上的旋度通量为零，并不会给出向量场本身的通量。

要算闭曲面通量，我们需要另一条从 Green 通量形式长出来的三维定理。

设 $E$ 是有界实体，边界 $\partial E$ 是分片光滑闭曲面，法向一律取外法向。若 $\mathbf F$ 在包含 $E$ 的开区域内有连续一阶偏导数，那么

左边把流出记为正、流入记为负，得到整个闭曲面的净流出通量。右边把体内每一点的源汇强度加起来。散度为正的地方在制造净流出，散度为负的地方在吸收流量，散度为零则表示局部流入和流出平衡。

闭曲面的正方向不是任选的：散度定理使用外法向。若实体有空腔，空腔表面也是边界的一部分；对实体来说，那里“向外”恰好是指向空腔内部。

散度为什么正好等于单位体积净流出

取一个边长分别为 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ 的小盒子。向量场写成 $\mathbf F=\langle M,N,P\rangle$。

在垂直于 $x$ 轴的两面上，右面的外流减去左面的外流，近似为

同理，另外两对面分别贡献

和

三对面相加，小盒子的净流出就是

现在用许多小盒子铺满 $E$。任意内部公共面都会被相邻两个盒子各算一次，而且法向相反，所以通量成对抵消。最后只剩实体最外层的曲面通量。让盒子越来越小，近似就变成散度定理。

你会发现，这和 Stokes 定理的证明是同一个机关：内部公共边界抵消，只留下整体边界。 差别只是 Stokes 拼的是曲面片，内部抵消的是边；散度定理拼的是小体积，内部抵消的是面。

例题：长方体六个面被一次体积分接管

设

$E=[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$。求穿出长方体边界的总通量。

如果一个题目要求你分别报告每个面的通量，散度定理只能给总和，不能替你拆账。它适合“总通量”，不自动提供每一面的明细。

交互实验里可以切换球体、立方体和不同向量场。特别留意内法向选项：它会让表面通量变号，但体内散度积分不变，因此标准散度定理必须使用外法向。

开曲面通量：先补面，再把多算的减回来

散度定理要求闭曲面，可真实题目经常只给半球面、圆柱侧面或一个没有盖子的碗。此时不能直接套定理，但可以补上一块简单曲面，把它封闭起来。

设原曲面为 $S$，补面为 $S_0$，两者围成实体 $E$。若方向都取相对于 $E$ 的外法向，那么

这里最容易错的不是积分，而是补面的法向。补面在几何上可能“朝上”，但作为封闭实体的一部分，它的外法向也可能朝下。

例题：上半球曲面要减掉底盘

设

$S$ 是单位上半球的曲面部分，取球体外法向。求穿过 $S$ 的通量。

看到负的补面通量不用紧张。它只表示在底盘的外法向约定下，向量场实际流进了半球体。

奇点：一个漏掉的点就能让定理失效

定理的光滑条件不是礼貌性备注。考虑径向场

在原点之外可以算出

如果不检查定义域，很容易对半径为 $a$ 的球直接写出“体内散度积分为零，所以通量为零”。可球面上的实际通量是

于是

矛盾来自原点：$\mathbf F$ 在那里没有定义，不能对包含原点的球体使用散度定理。

把原点周围半径为 $\varepsilon$ 的小球挖掉，问题就清楚了。对球壳 $\varepsilon\le\|\mathbf r\|\le a$，外球面的通量是 $4\pi$；内球面作为球壳边界，外法向指向原点，因此通量是 $-4\pi$。两者相加为零，正好等于球壳内的散度积分。

守恒定律为什么总喜欢散度

把 $u(t,x,y,z)$ 看成某种物质的密度，把 $\mathbf F$ 看成它的流量场，再用 $q$ 表示单位体积、单位时间内净产生的量。一个固定控制体 $E$ 内的总量变化应满足

右边第一项前有负号，因为外向通量为正时，控制体内部的存量在减少。用散度定理把边界通量搬进体内，就得到

这个等式对任意小的控制体都成立，于是局部形式是

这张图里的“流入减流出，加源减汇”就是同一笔守恒账。散度定理做的，是把边界上的总流出和体内每一点的局部账目准确地对上。

若没有源汇且状态稳定，便有 $\nabla\cdot\mathbf F=0$。这不表示流体静止，只表示每个小体积里流入和流出平衡。河水可以流得很快，同时保持散度为零。

三大定理放在同一张地图上

现在可以把 Green、Stokes 和散度定理排成两条升级路线。

三条定理背后还有更早的一位祖先：微积分基本定理。

区间的边界只有两个端点，一个带正号，一个带负号；导数在内部累加后，只留下边界差。Green 定理把“区间到端点”升成“区域到边界曲线”，Stokes 和散度定理再把同一个骨架带到曲面和体积。

两个一眼就能看懂的后果

若 $\mathbf F=\nabla f$，那么

只要闭曲线能在向量场的定义域内张成一个合格曲面，Stokes 定理就给出

这给出了梯度场沿闭路不做净功的一种证明。梯度场若有全局势函数，也可以直接用线积分基本定理得到同样结论。更容易误用的是反方向：只看到 $\nabla\times\mathbf F=\mathbf0$ 就断言所有闭路积分为零。此时必须保留“闭曲线能在定义域内张成曲面”这个条件；定义域有洞或场有奇点时，单看曲线上没有问题还不够。

另一方面，闭曲面没有边界，所以对足够光滑的向量场 $\mathbf A$，Stokes 定理给出

再和散度定理对照，就得到恒等式

旋度场没有净源汇；梯度场没有局部旋转。这两条“自动为零”的关系，把本课程里梯度、旋度和散度三种运算真正接到了一起。

做题时怎样选定理

不要从公式名称出发，先看题目给你的积分对象。

一个实用的五步检查是：

1. 圈出积分符号和积分域，确认是线、面还是体。
2. 看点积对象是 $d\mathbf r$ 还是 $\mathbf n\,dS$，分清环流和通量。
3. 先算旋度或散度，判断换过去是否更简单。
4. 核对边界是否闭合、方向是否匹配。
5. 扫一遍定义域，确认没有奇点被曲面或实体包住。

常见误区

• 把旋度和散度对调。环流对应旋度，净流出通量对应散度。
• 把 $\nabla\times\mathbf F$ 当成一个数。三维旋度是向量，曲面积分里还要与法向点乘。
• 只凭“从上方看逆时针”决定符号，却没检查法向朝上还是朝下。
• 补面后忘记减掉补面通量，或给补面用了错误法向。
• 看到两张曲面的投影相同就换曲面。Stokes 要求空间边界本身相同。
• 看到散度为零就说向量场为零。散度为零只表示局部净流出为零，场仍然可以平移、剪切或旋转。
• 忽略空腔内壁。对有洞的实体，内壁也是 $\partial E$ 的一部分，外法向指向洞里。

练习

练习 1：方向翻转

设 $\mathbf F=\langle-y,x,0\rangle$，$S$ 是单位上半球面，法向取向上。边界 $C$ 从上方看按顺时针方向。求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$。

练习 2：斜平面三角形

设 $\mathbf F=\langle z,x,y\rangle$，$C$ 是平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限围出的三角形边界，方向与法向 $⟨1,$ 相容。求环流。

练习 3：球面上的总通量

设 $\mathbf F=\langle x^3,y^3,z^3\rangle$，求它穿出单位球面的通量。

练习 4：只求圆柱侧面的通量

设 $\mathbf F=\langle x,y,z\rangle$。圆柱 $x^2+y^2\le1$、$$ 只取侧面，法向朝外。求侧面通量。

练习 5：球壳内外两个边界

令 $\mathbf F=\mathbf r/\|\mathbf r\|^3$，区域为球壳 $1\le\|\mathbf r\|\le2$。分别求外球面和内球面相对于球壳外法向的通量，并核对散度定理。

练习 6：选择工具

分别判断下面的问题优先用什么方法。

（1）空间闭曲线上的环流，曲线是一个平圆的边界。

（2）封闭椭球面的总外向通量。

（3）抛物面碗面的通量，碗口圆盘上的通量很容易算。

（4）平面开曲线从点 $A$ 到点 $B$ 的做功。

练习 7：同一个场的两个“零”

设

不做任何曲线或曲面参数化，说明为什么它沿任意光滑闭曲线的环流为零，并说明为什么它穿出任意光滑闭曲面的总通量也为零。

从局部变化回到整体边界

走到这里，这门课从一元函数的一条切线，走到了空间曲面和向量场。途中出现了很多看似分散的工具：偏导数把变化拆到坐标方向，梯度重新拼出最快增长方向，重积分把小块累成整体，旋度记录局部旋转，散度记录局部源汇。

Stokes 定理和散度定理把这些工具收在了同一个结尾里：局部导数不是孤零零的数字。只要沿区域内部把它们累加，内部公共边界会彼此抵消，最后留下的正是整体边界上能测到的量。

以后再遇到一条长积分，不妨先问两句话：边界是什么？内部该累加哪一种局部变化？ 能回答这两句，你通常已经走完了最难的一半。

其中投影区域为

封住上半球。对上半球实体来说，底盘的外法向是 $-\mathbf k$，不是 $\mathbf k$。

题目方向相反，因此

投影区域 $T$ 满足 $x\ge0$、$y\ge0$、$x+y\le1$，而

所以

在单位球内用球坐标，$dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$，因此

计算得到

所以外向通量是 $12\pi/5$。

因此

内球面是球壳的内边界。球壳的外法向在这里指向原点，与径向单位向量相反，所以通量为 $-4\pi$。

向量场在整个球壳上光滑，而且 $\nabla\cdot\mathbf F=0$。两个边界通量相加为

正好等于球壳内的散度积分。原点已被挖掉，因此这次可以合法使用散度定理。

向量场处处光滑，因此散度定理给出任意闭曲面的总外向通量为零。

这两个零的原因不同：环流为零来自“无旋”，通量为零来自“无源汇”。